大問Ⅴ　二項係数の偶奇（2で割れる回数の比較）整数・難易度 　

$N=2015+1=2016=63\cdot2^5$ とおく。

二項係数の基本公式 $_n\mathrm{C}_m=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-m+1)}{m!}$ を使うと、

$2015-m+1=2016-m=N-m$ であることから

$${}_{2015}\mathrm{C}_m=\dfrac{(N-1)(N-2)\cdots(N-m)}{1\cdot2\cdots m}$$

と書き直せる。この分子・分母を$k$と$N-k$（$k=1,\dots,m$）のペアで見比べる。

$1\leqq k\leqq31$（$=2^5-1$）に対し、$k=2^p\cdot q$（$q$は奇数、$p$は0以上4以下の整数）と表すと、$N-k=63\cdot2^5-2^p\cdot q=2^p(63\cdot2^{5-p}-q)$。$5-p\geqq1$なので$63\cdot2^{5-p}$は偶数、$q$は奇数だから括弧の中は奇数。つまり$N-k$が2で割れる回数はちょうど$p$で、$k$が2で割れる回数（$=p$）とぴったり一致する。

したがって $1\leqq m<32$ のとき、上の式の分子$(N-1)(N-2)\cdots(N-m)$と分母$1\cdot2\cdots m$では、

各$k$（$1\leqq k\leqq m$）について$N-k$と$k$が2で割れる回数が一致しているので、分子・分母に含まれる2の個数はちょうど打ち消し合う。よって$_{2015}\mathrm{C}_m$は奇数である。

一方 $m=32=2^5$ のとき、$N-32=63\cdot2^5-2^5=62\cdot2^5$ である。

$$\begin{aligned}{}_{2015}\mathrm{C}_{32}&=\dfrac{(N-1)(N-2)\cdots(N-31)(N-32)}{1\cdot2\cdots31\cdot32}\\&=\left[\dfrac{(N-1)(N-2)\cdots(N-31)}{1\cdot2\cdots31}\right]\times\dfrac{N-32}{32}\\&={}_{2015}\mathrm{C}_{31}\times\dfrac{62\cdot2^5}{2^5}\\&={}_{2015}\mathrm{C}_{31}\times62\end{aligned}$$

（$(N-1)(N-2)\cdots(N-31)/31!=2015\cdot2014\cdots1985/31!={}_{2015}\mathrm{C}_{31}$であることを使った。）

$m=31<32$なので$_{2015}\mathrm{C}_{31}$は奇数、$62=2\times31$は偶数だから、$_{2015}\mathrm{C}_{32}$は偶数になる。

以上より、$m=1,2,\dots,31$では$_{2015}\mathrm{C}_m$はすべて奇数、$m=32$で初めて偶数になる。