大問Ⅲ　接する条件と回転体の体積（部分積分・置換の総合)微分積分・難易度 　

(1) $g(x)=ax^p-\log x$ ($x>0$) とおく。2曲線が $ax^p=\log x$ の解を1つだけ持つ $\Leftrightarrow g(x)=0$ の解が1つだけ。

$$ g'(x)=apx^{p-1}-\dfrac1x=\dfrac{apx^p-1}{x}. $$

$g'(x)=0\Leftrightarrow x^p=\dfrac1{ap}\Leftrightarrow x=(ap)^{-1/p}=:x_0$。$x<x_0$で$g'<0$、$x>x_0$で$g'>0$なので $g$ は $x_0$ で最小。$x\to+0$ と $x\to\infty$ でともに $g\to+\infty$ なので、$g$ はU字型で、解がただ1つ $\Leftrightarrow$ 最小値 $g(x_0)=0$（＝接する）。

$$ g(x_0)=a\cdot\dfrac1{ap}-\log(ap)^{-1/p}=\dfrac1p+\dfrac1p\log(ap)=\dfrac1p\{1+\log(ap)\}. $$

$g(x_0)=0\Leftrightarrow\log(ap)=-1\Leftrightarrow ap=\dfrac1e\Leftrightarrow a=\dfrac1{ep}$。このとき $x_0=(ap)^{-1/p}=e^{1/p}$。

(2) $c=e^{1/p}$（$Q$の$x$座標）。(1)より $ax^p\geqq\log x$ が常に成り立つ（等号は$x=c$のみ）。$\log x$は$x=1$で$0$、$0<x<1$で負、$x>1$で正だから、「2曲線と$x$軸で囲まれた図形」は $0\leqq x\leqq1$で下端が$x$軸、$1\leqq x\leqq c$で下端が$y=\log x$、上端は全体で$y=ax^p$となる領域。よって

$$ V=\pi\int_0^c(ax^p)^2dx-\pi\int_1^c(\log x)^2dx. $$

第1項：$\displaystyle\int_0^c(ax^p)^2dx=a^2\dfrac{c^{2p+1}}{2p+1}$。$a^2=\dfrac1{e^2p^2}$、$c^{2p+1}=e^{2+1/p}=e^2c$ より $a^2c^{2p+1}=\dfrac{c}{p^2}$。よって第1項$=\dfrac{c}{p^2(2p+1)}$。

第2項：$\displaystyle\int(\log x)^2dx=x(\log x)^2-2x\log x+2x$（部分積分2回）。$x=c$で$\log c=1/p$ だから値は $c(1/p^2-2/p+2)$。$x=1$で値は$2$。よって

$\displaystyle\int_1^c(\log x)^2dx=c(1/p^2-2/p+2)-2$。

$$ \dfrac{V}{\pi}=\dfrac{c}{p^2(2p+1)}-c\left(\dfrac1{p^2}-\dfrac2p+2\right)+2=c\left[\dfrac1{p^2(2p+1)}-\dfrac1{p^2}+\dfrac2p-2\right]+2. $$

括弧内を整理：$\dfrac1{p^2(2p+1)}-\dfrac1{p^2}=-\dfrac2{p(2p+1)}$ より括弧内$=-\dfrac2{p(2p+1)}+\dfrac2p-2=\dfrac4{2p+1}-2=\dfrac{2(1-2p)}{2p+1}$。

(3) $V=2\pi\Leftrightarrow\dfrac{2(1-2p)}{2p+1}e^{1/p}=0$。$e^{1/p}>0,\ 2p+1>0$（$p>0$）なので $1-2p=0$。