大問Ⅱ　数列の和と部分分数分解（大問まるごと）数列・難易度 標準　

〔配点〕アイ 4点／ウエ 4点／オ 4点／カキ 4点／クケコサ 5点／シス 4点／セソタ 5点／チツテトナニ 5点　（計 35点）

【(1) 等差数列】

$a_{n}=n$ より $S_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$。

$$S_{10}=\dfrac{10\cdot 11}{2}=55$$

$S_{k}\geqq 496$ すなわち $k(k+1)\geqq 992$。$31\cdot 32=992$，$30\cdot 31=930$ だから，最小の $k$ は $31$。

〔急所〕$k(k+1)\geqq 992$ を解くとき，$k^{2}\approx 992$ から $k\approx 31.5$ と当たりをつけて，$k=30$ と $k=31$ を直接代入するのが速い。判別式を持ち出す必要はない。

【(2) 部分分数分解（2個の積）】

$\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{a}{k}+\dfrac{b}{k+1}$ の両辺に $k(k+1)$ を掛けて $1=a(k+1)+bk$。

$k=0$ を代入して $a=1$，$k=-1$ を代入して $b=-1$。

$$S_{50}=\sum_{k=1}^{50}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)=1-\dfrac{1}{51}=\dfrac{50}{51}$$

〔急所〕恒等式の係数決定は「分母を払って，分母が 0 になる値を代入する」が最短。$k=0$ や $k=-1$ は $k$ の変域の外だが，恒等式なのだから代入してよい。

【(3)(i) 部分分数分解（4個の積）と α，β，γ】

同じ手を使う。両辺に $k(k+1)(k+2)(k+3)$ を掛けて，$k=0,\ -1,\ -2,\ -3$ を順に代入すると

$$p=\dfrac{1}{1\cdot 2\cdot 3}=\dfrac{1}{6},\quad q=\dfrac{1}{(-1)\cdot 1\cdot 2}=-\dfrac{1}{2},\quad r=\dfrac{1}{(-2)(-1)\cdot 1}=\dfrac{1}{2},\quad s=\dfrac{1}{(-3)(-2)(-1)}=-\dfrac{1}{6}$$

次に，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$ の形に書き直す。展開すると $\dfrac{\alpha}{k}+\dfrac{-\alpha+\beta}{k+1}+\dfrac{-\beta+\gamma}{k+2}+\dfrac{-\gamma}{k+3}$ だから，係数を比べて

$$\alpha=p=\dfrac{1}{6},\qquad -\alpha+\beta=q=-\dfrac{1}{2}\ \Longrightarrow\ \beta=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}=-\dfrac{1}{3}$$

〔検算〕$-\beta+\gamma=r=\dfrac{1}{2}$ より $\gamma=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$。これが $-\gamma=s=-\dfrac{1}{6}$ と合う。4つの条件のうち3つで $\alpha,\beta,\gamma$ が決まり，残り1つが検算になる。

【(3)(ii) 和をとる】

$\alpha,\ \beta,\ \gamma$ の形にしてあるので，3本とも望遠鏡和（となり合う項が消える形）になっている。

$$S_{10}=\alpha\left(1-\dfrac{1}{11}\right)+\beta\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{12}\right)+\gamma\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{13}\right)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{10}{11}-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{5}{12}+\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{10}{39}$$

$$=\dfrac{5}{33}-\dfrac{5}{36}+\dfrac{5}{117}=\dfrac{780-715+220}{5148}=\dfrac{285}{5148}=\dfrac{95}{1716}$$

〔急所〕$\dfrac{p}{k}+\dfrac{q}{k+1}+\dfrac{r}{k+2}+\dfrac{s}{k+3}$ のまま和をとろうとすると，どの項とどの項が消えるのかが見えない。$\alpha,\ \beta,\ \gamma$ の形に組み替えるのは，消える組を先に作っておくための操作である。設問 (i) の後半はそのための誘導。

〔別解〕$\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}-\dfrac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}\right)$ を使えば一気に $S_{10}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{1\cdot 2\cdot 3}-\dfrac{1}{11\cdot 12\cdot 13}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{1716}\right)=\dfrac{95}{1716}$。分母に連続する $m$ 個の積があるときは，この形が最短になる。