大問Ⅰ　円と三角関数（台形の面積の最大）／重複組合せ（大問まるごと）図形と方程式・三角関数・場合の数・難易度 標準　

〔配点〕アイウ 5点／エオカキク 5点／ケ 3点／コサシス 4点／セソタ 4点／チツ 3点／テトナ 4点／ニヌネ 3点　（計 31点）

【(1) まず $t$ の範囲】

三角関数の合成で $t=\sin\theta-\cos\theta=\sqrt{2}\,\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$。

$0<\theta<\pi$ より $-\dfrac{\pi}{4}<\theta-\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{3}{4}\pi$ である。この範囲で $\sin$ は $\theta-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$ のとき最大値 $1$ をとり，両端では $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ と $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$（どちらも端点なので含まない）。したがって

$$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}<\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)\leqq 1 \quad\Longrightarrow\quad -1<t\leqq\sqrt{2}$$

〔急所〕左端が「含まない」，右端が「含む」。$\theta=0$ は範囲外だから $t=-1$ にならず，$\theta=\dfrac{3}{4}\pi$ は範囲内だから $t=\sqrt{2}$ は実現する。

【(1) 面積を $t$ で表す】

$\mathrm{P}(\cos\theta,\ \sin\theta)$，$\mathrm{Q}(\cos\theta,\ -\sin\theta)$ だから，線分 PQ は $x=\cos\theta$ 上の縦線で長さ $2\sin\theta$。線分 AB も $x=2$ 上の縦線で長さ $4$。つまり四角形 ABPQ は $\mathrm{AB}\mathrel{/\mkern-5mu/}\mathrm{QP}$ の台形である。

高さ（2本の縦線の距離）は $2-\cos\theta$ だから

$$S=\dfrac{1}{2}\left(4+2\sin\theta\right)\left(2-\cos\theta\right)=\left(2+\sin\theta\right)\left(2-\cos\theta\right)=4+2\left(\sin\theta-\cos\theta\right)-\sin\theta\cos\theta$$

ここで $t^{2}=(\sin\theta-\cos\theta)^{2}=1-2\sin\theta\cos\theta$ より $\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1-t^{2}}{2}$。代入して

$$S=4+2t-\dfrac{1-t^{2}}{2}=\dfrac{1}{2}t^{2}+2t+\dfrac{7}{2}=\dfrac{1}{2}\left(t+2\right)^{2}+\dfrac{3}{2}$$

【(1) 最大値】

$\dfrac{1}{2}(t+2)^{2}+\dfrac{3}{2}$ は $t>-2$ で単調に増加する。$-1<t\leqq\sqrt{2}$ だから $t=\sqrt{2}$ で最大。

$$\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{2}+2\right)^{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(6+4\sqrt{2}\right)+\dfrac{3}{2}=3+2\sqrt{2}+\dfrac{3}{2}=2\sqrt{2}+\dfrac{9}{2}$$

〔なぜ $t$ で置くのか〕$\sin\theta-\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ は $t^{2}=1-2\sin\theta\cos\theta$ で結ばれている。「和差」と「積」がこの1本で行き来できるから，$\theta$ の式が $t$ の2次式に落ちる。対称式を見たらこの置換を疑う。

【(2) 重複組合せ】

(i) $x+y+z+w=10$，$x,y,z,w\geqq 0$ の整数解の個数は，10個の○を3本の仕切りで4組に分ける場合の数。

$${}_{13}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{13\cdot 12\cdot 11}{3\cdot 2\cdot 1}=286$$

正の整数解は，先に各変数に1ずつ配ってから残り6を0以上で分ける。

$${}_{9}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}=84$$

(ii) $1\leqq x<y<z\leqq 10$ は，1〜10 から異なる3数を選べば大小の順で1通りに決まるので

$${}_{10}\mathrm{C}_{3}=120$$

$0\leqq x\leqq y\leqq z\leqq 10$ は，0〜10 の11個から重複を許して3個選ぶ重複組合せ。

$${}_{11}\mathrm{H}_{3}={}_{13}\mathrm{C}_{3}=286$$

〔急所〕(2) は4問とも「○と仕切り」か「選ぶだけ」に帰着する。等号の有無（$<$ か $\leqq$）と，下限が 0 か 1 かの2点だけを見れば式が決まる。最初と最後がどちらも 286 になるのは偶然ではなく，$x+y+z+w=10$（0以上・4変数）と $0\leqq x\leqq y\leqq z\leqq 10$（11個から3個の重複組合せ）が同じ ${}_{13}\mathrm{C}_{3}$ に落ちるため。

〔検算〕${}_{13}\mathrm{C}_{3}=286$，${}_{9}\mathrm{C}_{3}=84$，${}_{10}\mathrm{C}_{3}=120$。