閉じる ×Topic1小問 (1)
等差数列の和の公式
$a_n=n$ は初項1・公差1の等差数列。初項から第 $n$ 項までの和は $S_n=\frac12 n(a+l)$ で求められる。
ヒント
初項1，末項 $a_{10}=10$，項数10 を公式に入れてみよう。
この問題での考え方 小問 (1)問題文に「$a_n=n$」とあり，1, 2, 3, … と1ずつ増えるので等差数列だと気づく。初項 $a=1$，末項 $l=n$ を $S_n=\frac12 n(a+l)$ に入れると
$$S_n=\frac12 n(1+n)=\frac{n(n+1)}{2}$$
という形になる。
(i)では $n=10$ を代入して $\frac{10\cdot 11}{2}=55$ となる。この $S_n$ の式は(ii)でそのまま不等式に使うので，ここで $n$ の式のまま残しておくのが大事。
解答 小問 (1)(1) $a_n=n$ は初項1，公差1の等差数列だから $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$。
(i) $S_{10}=\frac{10\cdot11}{2}=55$。 [アイ]=55
(ii) $\frac{k(k+1)}{2}\geqq496$ より $k(k+1)\geqq992$。$30\cdot31=930<992$，$31\cdot32=992$ だから $k$ の最小値は 31。 [ウエ]=31
閉じる ×Topic2小問 (1)
和の式を不等式に使う
$S_k=\frac{k(k+1)}{2}$ と書けるので，条件は $k$ の2次不等式になる。$k(k+1)\geqq 992$ で，$k$ は正の整数。
ヒント
$k(k+1)$ が992に近い連続2整数の積になる $k$ を探そう（$30\times31$，$31\times32$ など）。
この問題での考え方 小問 (1)(ii)の「$S_k\geqq 496$ を満たす $k$ の最小値」という文から，$S_k$ に(i)で求めた式を入れて $k$ の不等式を作ると見抜く。
$$\frac{k(k+1)}{2}\geqq 496 \iff k(k+1)\geqq 992$$
$k$ は正の整数なので，$k(k+1)$ が連続2整数の積であることを使って $992$ の近くを探す。$30\cdot 31=930<992$ で届かず，$31\cdot 32=992$ でちょうど等号が成り立つ。
$k(k+1)$ は $k$ が増えると増えるから，最小の $k$ は $31$ と決まる。$\sqrt{992}\fallingdotseq 31.5$ と見積もってから前後を確かめると速い。
解答 小問 (1)(1) $a_n=n$ は初項1，公差1の等差数列だから $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$。
(i) $S_{10}=\frac{10\cdot11}{2}=55$。 [アイ]=55
(ii) $\frac{k(k+1)}{2}\geqq496$ より $k(k+1)\geqq992$。$30\cdot31=930<992$，$31\cdot32=992$ だから $k$ の最小値は 31。 [ウエ]=31
閉じる ×Topic3小問 (2)
分数の恒等式（部分分数分解）
右辺を通分して分子を比べる。「$k$ についての恒等式」は，どんな $k$ でも成り立つ＝係数が一致する，ということ。
ヒント
右辺を通分し，分子 $a(k+1)+bk$ が定数1になる $a,b$ を考えよう。
この問題での考え方 小問 (2)(2)(i)の「$k$ についての恒等式」という言葉が合図で，右辺を通分して分子どうしを比べる。
$$\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}=\frac{a(k+1)+bk}{k(k+1)}=\frac{(a+b)k+a}{k(k+1)}$$
これが $\frac{1}{k(k+1)}$ に等しいので，分子 $(a+b)k+a$ が定数 $1$ に等しい。$k$ の係数から $a+b=0$，定数項から $a=1$。
よって $b=-1$ となり，$\frac{1}{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}$ という差の形が得られる。この形が(ii)の和の計算の出発点になる。
解答 小問 (2)(2) (i) 右辺を通分すると $\frac{a(k+1)+bk}{k(k+1)}=\frac{(a+b)k+a}{k(k+1)}$。分子が1に等しいので $a+b=0,\ a=1$。よって $a=1,\ b=-1$。 [オ]=1，[カキ]=-1
(ii) $a_k=\frac1k-\frac1{k+1}$ より
$S_{50}=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1{50}-\frac1{51}\right)=1-\frac1{51}=\frac{50}{51}$。 [クケ]/[コサ]=50/51
閉じる ×Topic4小問 (2)
差の形にして和を打ち消す
(i)で $a_k=\frac1k-\frac1{k+1}$ と差の形になった。足すと隣どうしが打ち消し合い，最初と最後だけが残る。
ヒント
$k=1,2,3,\dots$ と並べて書き，どの項が残るか見てみよう。
この問題での考え方 小問 (2)(ii)は $S_{50}=\sum_{k=1}^{50}\frac{1}{k(k+1)}$ で，そのままでは足せない。ところが(i)で $a_k=\frac1k-\frac1{k+1}$ と差の形になったので，これを $k=1,2,\dots,50$ と並べる。
$$\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1{50}-\frac1{51}\right)$$
各括弧の後ろの項が次の括弧の前の項と打ち消し合い，最初の $1$ と最後の $-\frac1{51}$ だけが残る。
$S_{50}=1-\frac1{51}=\frac{50}{51}$。この「差の形にして隣どうしを消す」方法を，(3)の4項の分数にも使うことになる。
解答 小問 (2)(2) (i) 右辺を通分すると $\frac{a(k+1)+bk}{k(k+1)}=\frac{(a+b)k+a}{k(k+1)}$。分子が1に等しいので $a+b=0,\ a=1$。よって $a=1,\ b=-1$。 [オ]=1，[カキ]=-1
(ii) $a_k=\frac1k-\frac1{k+1}$ より
$S_{50}=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1{50}-\frac1{51}\right)=1-\frac1{51}=\frac{50}{51}$。 [クケ]/[コサ]=50/51
閉じる ×Topic5小問 (3)
4項の部分分数分解
両辺に $k(k+1)(k+2)(k+3)$ を掛けた恒等式に，$k=0,-1,-2,-3$ を代入すると $p,q,r,s$ が1つずつ決まる。
ヒント
両辺に分母を掛け，$k=0$ を代入すると $p$ だけが残る。
この問題での考え方 小問 (3)(3)(i)は $\frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$ を4つの分数に分ける問題で，(2)の2項の場合より未知数が増える。両辺に $k(k+1)(k+2)(k+3)$ を掛けて分母を払うと
$$1=p(k+1)(k+2)(k+3)+qk(k+2)(k+3)+rk(k+1)(k+3)+sk(k+1)(k+2)$$
という $k$ の3次式の恒等式になる。
$k=0,-1,-2,-3$ を順に代入すると，$p,q,r,s$ が1つずつ出てくる。$k=0$ では $1=6p$ より $p=\frac16$，$k=-1$ では $1=-2q$ より $q=-\frac12$，$k=-2$ では $1=2r$ より $r=\frac12$，$k=-3$ では $1=-6s$ より $s=-\frac16$。
$p=\frac16$ が[シ]/[ス]の答えで，$q,r$ は次の $\alpha,\beta,\gamma$ を決めるのに使う。
解答 小問 (3)(3) (i) ①の両辺に $k(k+1)(k+2)(k+3)$ を掛けると
$1=p(k+1)(k+2)(k+3)+qk(k+2)(k+3)+rk(k+1)(k+3)+sk(k+1)(k+2)$。
$k=0$：$1=6p$ より $p=\frac16$。
$k=-1$：$1=-2q$ より $q=-\frac12$。
$k=-2$：$1=2r$ より $r=\frac12$。
$k=-3$：$1=-6s$ より $s=-\frac16$。
[シ]/[ス]=1/6
次に，右辺を展開して $\frac1k,\frac1{k+1},\frac1{k+2},\frac1{k+3}$ の係数を比べる。
$\frac1k$：$\alpha=p=\frac16$。
$\frac1{k+1}$：$-\alpha+\beta=q$ より $\beta=-\frac12+\frac16=-\frac13$。
$\frac1{k+2}$：$-\beta+\gamma=r$ より $\gamma=\frac12-\frac13=\frac16$（$\frac1{k+3}$ の係数 $-\gamma=s$ とも合う）。
[セソ]/[タ]=-1/3
(ii) 因数を1つ減らした差で書く（Tactic）。
$\frac1{k(k+1)(k+2)}-\frac1{(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{(k+3)-k}{k(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{3}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$
なので $a_k=\frac13\left\{\frac1{k(k+1)(k+2)}-\frac1{(k+1)(k+2)(k+3)}\right\}$。
$k=1$ から10まで足すと途中が打ち消し合い
$S_{10}=\frac13\left\{\frac1{1\cdot2\cdot3}-\frac1{11\cdot12\cdot13}\right\}=\frac13\left(\frac16-\frac1{1716}\right)=\frac13\cdot\frac{285}{1716}=\frac{95}{1716}$。
（$\alpha,\beta,\gamma$ で足しても $\frac16\cdot\frac{10}{11}-\frac13\cdot\frac5{12}+\frac16\cdot\frac{10}{39}=\frac{95}{1716}$ で一致。）
$95=5\cdot19$，$1716=2^2\cdot3\cdot11\cdot13$ で互いに素。 [チツ]/[テトナニ]=95/1716
閉じる ×Topic6小問 (3)
分母を払って分母が0になる値を代入する
分母を払うと $1=p(k+1)(k+2)(k+3)+qk(k+2)(k+3)+\cdots$ という多項式の恒等式になる。$k=0,-1,-2,-3$ を代入すると、そのたびに3項が消えて係数が1つずつ決まる。展開して係数比較をするより速く、$p,q,r,s$ が一撃で求まる。
ヒント
両辺に $k(k+1)(k+2)(k+3)$ を掛けたあと、$k=0$ を代入すると右辺に何が残るか見てみよう。
この問題での考え方 小問 (3)分母を払った恒等式の右辺は，$p$ の項が $(k+1)(k+2)(k+3)$，$q$ の項が $k(k+2)(k+3)$ のように，それぞれ別の因数を欠いた積になっている。ここに $k=0$ を入れると，$k$ を含む $q,r,s$ の3項が全部 $0$ になって $1=p\cdot1\cdot2\cdot3$ だけが残る。
同じように $k=-1$ なら $p,r,s$ の項が消えて $1=q\cdot(-1)(1)(2)=-2q$，$k=-2$ なら $1=r\cdot(-2)(-1)(1)=2r$，$k=-3$ なら $1=s\cdot(-3)(-2)(-1)=-6s$ となる。
3次式を展開して $k^3,k^2,k,1$ の係数を比べると4元連立方程式になって重い。「分母が $0$ になる値を代入する」だけで済ませられるのは，因数分解された形のまま使えるから。
解答 小問 (3)(3) (i) ①の両辺に $k(k+1)(k+2)(k+3)$ を掛けると
$1=p(k+1)(k+2)(k+3)+qk(k+2)(k+3)+rk(k+1)(k+3)+sk(k+1)(k+2)$。
$k=0$：$1=6p$ より $p=\frac16$。
$k=-1$：$1=-2q$ より $q=-\frac12$。
$k=-2$：$1=2r$ より $r=\frac12$。
$k=-3$：$1=-6s$ より $s=-\frac16$。
[シ]/[ス]=1/6
次に，右辺を展開して $\frac1k,\frac1{k+1},\frac1{k+2},\frac1{k+3}$ の係数を比べる。
$\frac1k$：$\alpha=p=\frac16$。
$\frac1{k+1}$：$-\alpha+\beta=q$ より $\beta=-\frac12+\frac16=-\frac13$。
$\frac1{k+2}$：$-\beta+\gamma=r$ より $\gamma=\frac12-\frac13=\frac16$（$\frac1{k+3}$ の係数 $-\gamma=s$ とも合う）。
[セソ]/[タ]=-1/3
(ii) 因数を1つ減らした差で書く（Tactic）。
$\frac1{k(k+1)(k+2)}-\frac1{(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{(k+3)-k}{k(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{3}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$
なので $a_k=\frac13\left\{\frac1{k(k+1)(k+2)}-\frac1{(k+1)(k+2)(k+3)}\right\}$。
$k=1$ から10まで足すと途中が打ち消し合い
$S_{10}=\frac13\left\{\frac1{1\cdot2\cdot3}-\frac1{11\cdot12\cdot13}\right\}=\frac13\left(\frac16-\frac1{1716}\right)=\frac13\cdot\frac{285}{1716}=\frac{95}{1716}$。
（$\alpha,\beta,\gamma$ で足しても $\frac16\cdot\frac{10}{11}-\frac13\cdot\frac5{12}+\frac16\cdot\frac{10}{39}=\frac{95}{1716}$ で一致。）
$95=5\cdot19$，$1716=2^2\cdot3\cdot11\cdot13$ で互いに素。 [チツ]/[テトナニ]=95/1716
閉じる ×Topic7小問 (3)
差の形への書き換えと係数比較
展開して $\frac1k,\frac1{k+1},\frac1{k+2},\frac1{k+3}$ の係数を①の $p,q,r,s$ と比べると，$\alpha,\beta,\gamma$ が順に決まる。
ヒント
$\frac1{k+1}$ の係数は $-\alpha+\beta$ になる。これが $q$ に等しい。
この問題での考え方 小問 (3)問題文は，①の右辺を $\alpha\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)+\beta\left(\frac1{k+1}-\frac1{k+2}\right)+\gamma\left(\frac1{k+2}-\frac1{k+3}\right)$ と差の形で書き直すように言っている。これは(2)と同じく，後で打ち消すための形作りである。
展開して各分数の係数をまとめると，$\frac1k$ は $\alpha$，$\frac1{k+1}$ は $-\alpha+\beta$，$\frac1{k+2}$ は $-\beta+\gamma$，$\frac1{k+3}$ は $-\gamma$ である。これを①の $p,q,r,s$ と比べる。
$\alpha=p=\frac16$，$-\alpha+\beta=q=-\frac12$ より $\beta=-\frac12+\frac16=-\frac13$，$-\beta+\gamma=r=\frac12$ より $\gamma=\frac12-\frac13=\frac16$。最後に $-\gamma=-\frac16=s$ となって(i)の結果と合うので検算にもなる。$\beta=-\frac13$ が[セソ]/[タ]の答え。
解答 小問 (3)(3) (i) ①の両辺に $k(k+1)(k+2)(k+3)$ を掛けると
$1=p(k+1)(k+2)(k+3)+qk(k+2)(k+3)+rk(k+1)(k+3)+sk(k+1)(k+2)$。
$k=0$：$1=6p$ より $p=\frac16$。
$k=-1$：$1=-2q$ より $q=-\frac12$。
$k=-2$：$1=2r$ より $r=\frac12$。
$k=-3$：$1=-6s$ より $s=-\frac16$。
[シ]/[ス]=1/6
次に，右辺を展開して $\frac1k,\frac1{k+1},\frac1{k+2},\frac1{k+3}$ の係数を比べる。
$\frac1k$：$\alpha=p=\frac16$。
$\frac1{k+1}$：$-\alpha+\beta=q$ より $\beta=-\frac12+\frac16=-\frac13$。
$\frac1{k+2}$：$-\beta+\gamma=r$ より $\gamma=\frac12-\frac13=\frac16$（$\frac1{k+3}$ の係数 $-\gamma=s$ とも合う）。
[セソ]/[タ]=-1/3
(ii) 因数を1つ減らした差で書く（Tactic）。
$\frac1{k(k+1)(k+2)}-\frac1{(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{(k+3)-k}{k(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{3}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$
なので $a_k=\frac13\left\{\frac1{k(k+1)(k+2)}-\frac1{(k+1)(k+2)(k+3)}\right\}$。
$k=1$ から10まで足すと途中が打ち消し合い
$S_{10}=\frac13\left\{\frac1{1\cdot2\cdot3}-\frac1{11\cdot12\cdot13}\right\}=\frac13\left(\frac16-\frac1{1716}\right)=\frac13\cdot\frac{285}{1716}=\frac{95}{1716}$。
（$\alpha,\beta,\gamma$ で足しても $\frac16\cdot\frac{10}{11}-\frac13\cdot\frac5{12}+\frac16\cdot\frac{10}{39}=\frac{95}{1716}$ で一致。）
$95=5\cdot19$，$1716=2^2\cdot3\cdot11\cdot13$ で互いに素。 [チツ]/[テトナニ]=95/1716
閉じる ×Topic8小問 (3)
分数の数列の和（打ち消し）
(i)の差の形で $k=1$ から10まで足すと，各括弧の先頭と末尾の項だけが残る。最後に通分して約分する。
ヒント
$\alpha\left(1-\frac1{11}\right)+\beta\left(\frac12-\frac1{12}\right)+\gamma\left(\frac13-\frac1{13}\right)$ の形になる。
この問題での考え方 小問 (3)(ii)の $S_{10}$ は，(i)の形 $a_k=\frac16\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)-\frac13\left(\frac1{k+1}-\frac1{k+2}\right)+\frac16\left(\frac1{k+2}-\frac1{k+3}\right)$ を $k=1$ から $10$ まで足す。3つの括弧はそれぞれ(2)と同じ打ち消しが起きて，最初と最後だけが残る。
$$S_{10}=\frac16\left(1-\frac1{11}\right)-\frac13\left(\frac12-\frac1{12}\right)+\frac16\left(\frac13-\frac1{13}\right)$$
$$=\frac{5}{33}-\frac{5}{36}+\frac{5}{117}$$
分母の最小公倍数 $5148$ で通分すると $\frac{780-715+220}{5148}=\frac{285}{5148}$ となり，$3$ で約分して $\frac{95}{1716}$。
$95=5\cdot19$ と $1716=2^2\cdot3\cdot11\cdot13$ は共通因数がなく，これ以上約分できない。
解答 小問 (3)(3) (i) ①の両辺に $k(k+1)(k+2)(k+3)$ を掛けると
$1=p(k+1)(k+2)(k+3)+qk(k+2)(k+3)+rk(k+1)(k+3)+sk(k+1)(k+2)$。
$k=0$：$1=6p$ より $p=\frac16$。
$k=-1$：$1=-2q$ より $q=-\frac12$。
$k=-2$：$1=2r$ より $r=\frac12$。
$k=-3$：$1=-6s$ より $s=-\frac16$。
[シ]/[ス]=1/6
次に，右辺を展開して $\frac1k,\frac1{k+1},\frac1{k+2},\frac1{k+3}$ の係数を比べる。
$\frac1k$：$\alpha=p=\frac16$。
$\frac1{k+1}$：$-\alpha+\beta=q$ より $\beta=-\frac12+\frac16=-\frac13$。
$\frac1{k+2}$：$-\beta+\gamma=r$ より $\gamma=\frac12-\frac13=\frac16$（$\frac1{k+3}$ の係数 $-\gamma=s$ とも合う）。
[セソ]/[タ]=-1/3
(ii) 因数を1つ減らした差で書く（Tactic）。
$\frac1{k(k+1)(k+2)}-\frac1{(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{(k+3)-k}{k(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{3}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$
なので $a_k=\frac13\left\{\frac1{k(k+1)(k+2)}-\frac1{(k+1)(k+2)(k+3)}\right\}$。
$k=1$ から10まで足すと途中が打ち消し合い
$S_{10}=\frac13\left\{\frac1{1\cdot2\cdot3}-\frac1{11\cdot12\cdot13}\right\}=\frac13\left(\frac16-\frac1{1716}\right)=\frac13\cdot\frac{285}{1716}=\frac{95}{1716}$。
（$\alpha,\beta,\gamma$ で足しても $\frac16\cdot\frac{10}{11}-\frac13\cdot\frac5{12}+\frac16\cdot\frac{10}{39}=\frac{95}{1716}$ で一致。）
$95=5\cdot19$，$1716=2^2\cdot3\cdot11\cdot13$ で互いに素。 [チツ]/[テトナニ]=95/1716
閉じる ×Tactic1小問 (3)
因数を1つ減らした差で打ち消す
連続する整数の積の逆数は，因数を1つ少なくした形の差 $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}$ に直すと，(2)と同じように打ち消せる。4分割せず，この差を直接作れば速い。
ヒント
$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}$ を通分すると分子はどうなるか。
この問題での考え方 小問 (3)チャートの例題は $\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}$ のように，分母が2つの因数の積の形である。この問題の $a_k$ は因数が4つあるので，そのままでは使えず，ここがずれる点。
(3)(i)のように4つに分けなくても，因数を1つ減らした差を作ればよい。
$$\frac1{k(k+1)(k+2)}-\frac1{(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{(k+3)-k}{k(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{3}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$$
これより $a_k=\frac13\left\{\frac1{k(k+1)(k+2)}-\frac1{(k+1)(k+2)(k+3)}\right\}$。
この差は $f(k)-f(k+1)$ の形（$f(k)=\frac1{k(k+1)(k+2)}$）なので，(2)と同じ打ち消しがそのまま使える。$k=1$ から $10$ で $S_{10}=\frac13\left(\frac1{1\cdot2\cdot3}-\frac1{11\cdot12\cdot13}\right)=\frac13\left(\frac16-\frac1{1716}\right)=\frac13\cdot\frac{285}{1716}=\frac{95}{1716}$。(i)の分解を経由した計算と一致する。
解答 小問 (3)(3) (i) ①の両辺に $k(k+1)(k+2)(k+3)$ を掛けると
$1=p(k+1)(k+2)(k+3)+qk(k+2)(k+3)+rk(k+1)(k+3)+sk(k+1)(k+2)$。
$k=0$：$1=6p$ より $p=\frac16$。
$k=-1$：$1=-2q$ より $q=-\frac12$。
$k=-2$：$1=2r$ より $r=\frac12$。
$k=-3$：$1=-6s$ より $s=-\frac16$。
[シ]/[ス]=1/6
次に，右辺を展開して $\frac1k,\frac1{k+1},\frac1{k+2},\frac1{k+3}$ の係数を比べる。
$\frac1k$：$\alpha=p=\frac16$。
$\frac1{k+1}$：$-\alpha+\beta=q$ より $\beta=-\frac12+\frac16=-\frac13$。
$\frac1{k+2}$：$-\beta+\gamma=r$ より $\gamma=\frac12-\frac13=\frac16$（$\frac1{k+3}$ の係数 $-\gamma=s$ とも合う）。
[セソ]/[タ]=-1/3
(ii) 因数を1つ減らした差で書く（Tactic）。
$\frac1{k(k+1)(k+2)}-\frac1{(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{(k+3)-k}{k(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{3}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$
なので $a_k=\frac13\left\{\frac1{k(k+1)(k+2)}-\frac1{(k+1)(k+2)(k+3)}\right\}$。
$k=1$ から10まで足すと途中が打ち消し合い
$S_{10}=\frac13\left\{\frac1{1\cdot2\cdot3}-\frac1{11\cdot12\cdot13}\right\}=\frac13\left(\frac16-\frac1{1716}\right)=\frac13\cdot\frac{285}{1716}=\frac{95}{1716}$。
（$\alpha,\beta,\gamma$ で足しても $\frac16\cdot\frac{10}{11}-\frac13\cdot\frac5{12}+\frac16\cdot\frac{10}{39}=\frac{95}{1716}$ で一致。）
$95=5\cdot19$，$1716=2^2\cdot3\cdot11\cdot13$ で互いに素。 [チツ]/[テトナニ]=95/1716