大問Ⅲ　開口部をもつ熱気球内の空気の密度、浮力とつりあいから浮上条件を出す、体積・外圧を変えたときの浮上温度の変化熱力学(気体の状態方程式)・力学(浮力)・難易度 標準　

22 ④（mP0/(RT0)）

　体積 V の空気の質量は ρ0V なので、物質量は ρ0V/m。状態方程式 P0V = (ρ0V/m)RT0 より

　ρ0 = mP0/(RT0)。

23 ⑦（P1/P0）

　温度が T0 のままで圧力が P1 になると、同じ式から ρ1 = mP1/(RT0)。

　ρ0 = mP0/(RT0) と比べると ρ1 = (P1/P0) × ρ0。密度は圧力に比例する。

24 ②（T0/T2）

　圧力が P0 のままで温度が T2 になると ρ2 = mP0/(RT2)。

　ρ0 = mP0/(RT0) と比べると ρ2 = (T0/T2) × ρ0。密度は絶対温度に反比例する。

25 ⑤（ρ2V）

　球体内の空気の密度が ρ2、体積が V なので、質量は ρ2V。開口部が開いているので温めると空気が出ていき、質量は減ることに注意する。

26 ②（ρ0Vg）

　浮力は押しのけた外気の重さに等しい。外気の密度は ρ0 なので、浮力の大きさは ρ0Vg。

27 ②（ρ0T0V/(ρ0V-M)）

　熱気球全体（球体内の空気を含む）にはたらく力を考えると、浮く条件は

　ρ0Vg > Mg + ρ2Vg。

　ρ2 = (T0/T2)ρ0 を代入して整理すると ρ0V - M > (T0/T2)ρ0V。

　ρ0V - M ≦ 0 ではこの不等式は成り立たない。ρ0V - M > 0 のとき、これを満たすのは

　T2 > ρ0V T0/(ρ0V - M)。

　したがって浮きはじめる温度は Tf = ρ0T0V/(ρ0V - M)。

28 ③（低くなる）

　27 の式を変形すると Tf = ρ0T0/(ρ0 - M/V)。V を大きくすると M/V が小さくなり分母が大きくなるので、Tf は低くなる。大きい気球ほど低い温度で浮く。

29 ③（低くなる）

　同じ式を Tf = VT0/(V - M/ρ0) と書く。外気の圧力 P0 を高くすると、22 より ρ0 が大きくなるので M/ρ0 が小さくなり分母が大きくなる。したがって Tf は低くなる。

30 ⑤（4.0×10^2）

　Tf = ρ0VT0/(ρ0V - M) に数値を代入する。ρ0V = 1.2 × 1.0×10^3 = 1.2×10^3 kg。

　Tf = 1.2×10^3 × 3.0×10^2/(1.2×10^3 - 3.0×10^2) = 3.6×10^5/(9.0×10^2) = 4.0×10^2 K。