大問Ⅱ　変化する磁場が生む誘導電場による荷電粒子の加速、張力が0にならない条件、1周での運動エネルギーの増加電磁気(電磁誘導)・力学(円運動)・難易度 難　

14 ⑦（πr^2ΔB̄/Δt）

　ファラデーの電磁誘導の法則より V = |ΔΦ/Δt| = πr^2ΔB̄/Δt。

15 ⑤（rΔB̄/(2Δt)）

　起電力は、単位電荷が円を1周するときに電場がする仕事に等しい。電場の強さは円周上どこでも同じなので

　E × 2πr = V　→　E = V/(2πr) = πr^2ΔB̄/(Δt・2πr) = rΔB̄/(2Δt)。

16 ②（qr/(2m)）

　接線方向の運動方程式は mΔv/Δt = qE。15 の E を代入すると

　mΔv/Δt = q・rΔB̄/(2Δt)　→　Δv = qr/(2m) × ΔB̄。

17 ⑤（v0 + bqrt/(2m)）

　時刻 0 から t までで速さは v0 から v(t) に、磁束密度の平均は 0 から bt になる。16 の関係を積み上げると

　v(t) - v0 = qr/(2m) × (bt - 0)　→　v(t) = v0 + bqrt/(2m)。

18 ⑥（mv^2/r - qvBr）

　中心方向の運動方程式を立てる。向心力は糸の張力 T とローレンツ力の和である。磁場は z 軸正の向き、正電荷が回っているのでローレンツ力は中心向きにはたらき、その大きさは qvBr。

　mv^2/r = T + qvBr　→　T = mv^2/r - qvBr。

19 ②（1/2）

　v = v0 + (qr/(2m))bt、Br = aB̄ = abt を 18 に代入すると

　T = (v0 + (qr/(2m))bt){q(1/2 - a)bt + mv0/r}。

　第1因子は常に正なので、t がいくら大きくなっても T>0 であるためには { } の中が負にならなければよい。bt の係数 q(1/2 - a) が 0 以上であればよいので a ≦ 1/2。

20 ③（πbqr^2）

　電荷が1周する間に電場がする仕事は W = qE・2πr = qV。

　V = πr^2ΔB̄/Δt において ΔB̄/Δt = b なので V = πr^2b。

　したがって W = πbqr^2 であり、これがそのまま運動エネルギーの増加量になる。

21 ⑧（2/(2a-1)）

　19 の T の式で、t = t1 のとき糸がたるむので T = 0。第1因子は正なので { } = 0 である。

　q(1/2 - a)bt1 + mv0/r = 0。ここで B̄(t1) = bt1 だから

　q(1/2 - a)B̄(t1) + mv0/r = 0　→　B̄(t1) = (mv0/r)/(q(a - 1/2)) = 2/(2a-1) × mv0/(qr)。