大問Ⅰ　運動量保存則の三角形と余弦定理、等質量の弾性衝突で直角になること、重い標的への衝突の近似力学(2次元弾性衝突)・難易度 やや難　

1 ③（q^2/(2m) + k^2/(2M)）

　運動エネルギーは（運動量）^2 ÷ (2×質量) で書ける。弾性衝突では運動エネルギーが保存するので

　p^2/(2m) = q^2/(2m) + k^2/(2M)。小球Aの質量が m、小球Bの質量が M であることに注意する。

2 ⑥（p^2 + q^2 - 2pq cosφ）

　運動量保存則より p→ = q→ + k→。すなわち k→ = p→ - q→ であり、3つのベクトルは三角形をつくる。

　p→ と q→ のなす角が φ なので、余弦定理より k^2 = p^2 + q^2 - 2pq cosφ。

3 ⑥（p^2 + k^2 - 2pk cosθ）

　同じ三角形で q→ = p→ - k→ とみる。p→ と k→ のなす角が θ なので

　q^2 = p^2 + k^2 - 2pk cosθ。

4 ⑤（cosφ）

　m = M のとき式(1)は p^2 = q^2 + k^2 となる。これに式(2)の k^2 = p^2 + q^2 - 2pq cosφ を代入すると

　p^2 = q^2 + p^2 + q^2 - 2pq cosφ　→　2q^2 = 2pq cosφ　→　q = p cosφ。

5 ④（sinθ）

　同様に、m = M のときの式(1) p^2 = q^2 + k^2 と、式(3) q^2 = p^2 + k^2 - 2pk cosθ から q を消去する。

　式(1)より q^2 = p^2 - k^2。これを式(3)の左辺に代入すると p^2 - k^2 = p^2 + k^2 - 2pk cosθ、すなわち 2k^2 = 2pk cosθ より k = p cosθ。

　したがって q^2 = p^2 - k^2 = p^2(1 - cos^2θ) = p^2 sin^2θ であり、q>0 より q = p sinθ。

6 ⑤（-1）

7 ③（π/2）

　(4) と (5) より p cosφ = p sinθ、すなわち cosφ = sinθ = cos(π/2 - θ)。

　0<φ<π、0<θ<π/2 の範囲で解くと φ = π/2 - θ、すなわち φ = (-1)×θ + π/2。

8 ④

　7 の結果より φ + θ = π/2 となり、衝突後の2つの軌道は互いに直角に交わる。等質量どうしの弾性衝突では、散乱角の和が必ず直角になる。式 p^2 = q^2 + k^2 が三平方の定理そのものであることからも読み取れる。

9 ③（(1-cosφ)）

　式(1)を移項して p^2 - q^2 = (m/M)k^2 とし、式(2)の k を代入する。

　(p^2 - q^2)/(2m) = (p^2 + q^2 - 2pq cosφ)/(2M)。

　q = p - Δp を代入し、与えられた近似式と (Δp)^2 を無視する扱いを使うと

　左辺 = pΔp/m、右辺 = {pΔp(cosφ - 1) + p^2(1 - cosφ)}/M。

　整理すると Δp/p = (m/M)(Δp/p)(cosφ - 1) + (m/M)(1 - cosφ)。

　(m/M)Δp の項を無視して Δp/p = (m/M)(1 - cosφ)。

10 ⓑ（√(2(1-cosφ))）

　Δp を無視する近似では q ≒ p。これを式(2)に代入すると

　k^2 = p^2 + p^2 - 2p^2 cosφ = 2p^2(1 - cosφ)　→　k = p√(2(1-cosφ))。

11 ④（2cosθ）

　同じく q ≒ p を式(3)に代入すると

　p^2 = p^2 + k^2 - 2pk cosθ　→　k^2 = 2pk cosθ　→　k = 2p cosθ。

12 ⑥（-2）

13 ⑤（π）

　(8) と (9) より √(2(1-cosφ)) = 2cosθ。両辺を2乗すると 2(1 - cosφ) = 4cos^2θ。

　与えられた公式 cos^2θ = (1 + cos2θ)/2 を使うと 2 - 2cosφ = 2(1 + cos2θ)、すなわち -cosφ = cos2θ。

　cosφ = -cos2θ = cos(π - 2θ) なので、φ, θ の範囲を考えて φ = π - 2θ、すなわち φ = (-2)×θ + π。