大問Ⅱ　2つの点電荷が作る電位と電場、等電位点の決定、エネルギー保存による速さ、4電荷による合力の近似と単振動の周期電磁気(静電場・電位)・難易度 標準　

11 ③（2kQ/a）

　点Oは A からも B からも距離 a。電位はスカラーなので単純に足して V0 = kQ/a + kQ/a = 2kQ/a。

12 ④（(1+√5)a/2）

　求める座標を x1 (> a) とすると、A からの距離は a + x1、B からの距離は x1 - a。

　kQ/(a+x1) + kQ/(x1-a) = 2kQ/a より 2x1/(x1^2 - a^2) = 2/a。

　整理して x1^2 - ax1 - a^2 = 0。x1 > a なので x1 = (1+√5)a/2。

13 ⑨（6kQ^2/a）

　点Oの電位は 11 より 2kQ/a。電気量 3Q の電荷がもつ位置エネルギーは U0 = 3Q × (2kQ/a) = 6kQ^2/a。

14 ④（2Q√(k/(ma))）

　点 ((1/2)a, 0) の電位は V1 = kQ/(a/2) + kQ/(3a/2) = 2kQ/a + 2kQ/(3a) = 8kQ/(3a)。

　力学的エネルギー保存より (1/2)mv0^2 + U0 = 3Q V1。

　(1/2)mv0^2 = 3Q × 8kQ/(3a) - 6kQ^2/a = 8kQ^2/a - 6kQ^2/a = 2kQ^2/a。

　v0^2 = 4kQ^2/(ma) より v0 = 2Q√(k/(ma))。

15 ⓪（4kQax/((a+x)^2(a-x)^2)）

　0 < x < a で、A の正電荷が作る電場は x 軸正の向きに kQ/(a+x)^2、B の正電荷が作る電場は x 軸負の向きに kQ/(a-x)^2。x 成分は

　E_AB = kQ/(a+x)^2 - kQ/(a-x)^2 = -4kQax/((a+x)^2(a-x)^2)。

　大きさはこの絶対値で 4kQax/((a+x)^2(a-x)^2)。

16 ⑤（(オ)）

　E_AB < 0 なので向きは x 軸の負の向き、すなわち(オ)。B の方が近いぶん B からの反発が勝つ。

17 ④（2kQx/(a^2+x^2)^(3/2)）

　r = √(a^2 + x^2) とおくと、C の負電荷が点 (x,0) に作る電場の大きさは kQ/r^2 で、向きは C に向かう向き。D についても同様で、y 成分は打ち消し合い x 成分だけが残る。θ を図のようにとると

　E_CD = -2 × (kQ/r^2) cosθ = -2kQ/r^2 × x/r = -2kQx/(a^2+x^2)^(3/2)。

　大きさは 2kQx/(a^2+x^2)^(3/2)。

18 ⑤（(オ)）

　E_CD も負なので x 軸の負の向き、すなわち(オ)。負電荷に引かれて中心向きになる。

19 ⓑ（-6kQq h/a^3）

　4つの電荷が点 (x,0) に作る電場の x 成分は E = E_AB + E_CD

　= -4kQax/((a^2-x^2)^2) - 2kQx/(a^2+x^2)^(3/2)。

　|x| ≪ a のとき a^2 - x^2 ≒ a^2、a^2 + x^2 ≒ a^2 なので

　E ≒ -4kQax/(a^2)^2 - 2kQx/(a^2)^(3/2) = -4kQx/a^3 - 2kQx/a^3 = -6kQx/a^3。

　x = h のとき、電荷 q が受ける力の x 成分は F = qE = -6kQq h/a^3。

20 ①（2π√(ma^3/(6kQq))）

　運動方程式は mα = -(6kQq/a^3) x。これは単振動で、角振動数は ω = √(6kQq/(ma^3))。

　周期は T = 2π/ω = 2π√(ma^3/(6kQq))。