大問Ⅰ　回転系から見た遠心力と仕事、レール内の小球の運動方程式、ばねと遠心力の合成による単振動、静止摩擦による静止条件力学(円運動・単振動)・難易度 やや難　

1 ⑥（mxω^2）

　円板とともに回転する観測者から見ると、小球は中心から遠ざかる向きに遠心力を受ける。位置 x にあるとき遠心力の大きさは mxω^2 で、向きは x 軸の正の向き。レールと円板はなめらかなので、x 方向の運動方程式は ma = mxω^2。

2 ⑧（mR^2ω^2/2）

　図2は原点から x=R まで直線的に増える比例のグラフで、x=R での値は mRω^2。遠心力が小球にした仕事の大きさはこの三角形の面積に等しく、(1/2) × R × mRω^2 = mR^2ω^2/2。

3 ④（1）

　点Aから点Oへ進む間、遠心力は中心から遠ざかる向きなので運動とは逆向きで、仕事は W = -mR^2ω^2/2 と負になる。点Oを通過して点Bに達するには、点Oで運動エネルギーが残っていればよい。(1/2)mv^2 + W > 0 より (1/2)mv^2 > (1/2)mR^2ω^2、すなわち v > 1 × Rω。

4 ①

5 ③

　まず 5 から考える。円板の外で静止している観測者から見ると、レールを外した後の小球には力がはたらかないので、点Oを通過した向き（点Bの向き）にそのまま等速直線運動する。これが③。この運動を、角速度 ω で回る円板の上から見ると軌跡は曲がって見えるので、 4 は①になる。

【補足】回転する観測者が小球の運動を説明するには、遠心力だけでなくコリオリ力まで考えないと軌跡を再現できず、これは高校の範囲を超える。しかし静止系から見れば等速直線運動と分かるので、そこから逆に見れば軌跡が選べる。

6 ⑦（-kx + mxω^2）

　ばねの自然長は R で、支柱は点Bにある。小球が位置 x にあるときのばねの伸びは R - x ではなく x なので、ばねは小球を x 軸の負の向き（中心向き）に大きさ kx で引く。これに遠心力 mxω^2 を加えて ma = -kx + mxω^2。

7 ④（k > mω^2）

　6 の式から a = -((k - mω^2)/m) x。単振動になるのは復元力の係数が正、すなわち (k - mω^2)/m > 0 のときで、k > mω^2。

8 ①（√(k/m - ω^2)）

　角振動数は √((k - mω^2)/m) = √(k/m - ω^2)。

9 ⑤（k = mω^2）

　加速度が常に 0 となって静止したままになるのは k - mω^2 = 0 のとき、すなわち k = mω^2。

10 ③（μmg/(k - mω^2)）

　小球にはたらく x 方向の力は、ばねの力と遠心力の合力 (k - mω^2)x0 で、これが中心向き。静止したままであるためには静止摩擦力がこれとつりあえばよい。最大静止摩擦力は μmg なので (k - mω^2)x0 ≦ μmg、すなわち x0 ≦ μmg/(k - mω^2)。最大値は μmg/(k - mω^2)。