大問Ⅲ　落下する観測者のドップラー効果、終端速度、振動数と時刻のグラフ、グラフの傾きからの重力加速度の測定、自由落下の高さと反発係数の推定波動(ドップラー効果)・難易度 標準　

21 ⑨（(1 + mg/(kV))）

　終端速度に達すると加速度が 0 になるので、重力と空気抵抗がつりあう。mg = kv より終端速度の大きさは v = mg/k である。

　音源は静止していて、観測者であるマイクは音源に近づく向きに速さ mg/k で動くので、ドップラー効果の式は F = f₀(V + mg/k)/V となる。

　これを整理すると F = f₀(1 + mg/(kV))。

22 ①

　落下を始めた直後は速度が小さく空気抵抗もほとんどはたらかないので、加速度はほぼ g で速度は急に増える。速くなるほど空気抵抗 kv が大きくなって加速度が小さくなるので、速度の増え方はしだいにゆるやかになり、終端速度 mg/k に近づいていく。

　観測される振動数は f = f₀(1 + v/V) で速度 v の1次式なので、f のグラフは v のグラフと同じ形になる。すなわち f₀ から始まって増加し、増え方がしだいにゆるやかになって F に近づく上に凸の曲線である。

23 ③（g(t-t₀)）

　空気抵抗が無視でき、時刻 t₀ に初速度 0 で落下を始めたのだから、マイクは鉛直下向きの加速度 g の等加速度直線運動をする。

　鉛直下向きを正としているので、落下を始めてからの経過時間 t-t₀ を用いて v = 0 + g(t-t₀) = g(t-t₀)。

24 ⑦（(V + g(t-t₀))/V）

　音源は静止し、観測者であるマイクが音源に近づく向きに速さ g(t-t₀) で動いている。

　観測者が静止した音源に近づくときのドップラー効果の式は f = f₀(V + v_観測者)/V なので、f = f₀(V + g(t-t₀))/V となる。

25 ⑥（gf₀/V）

　24 の式を展開すると f = f₀ + f₀g(t-t₀)/V となり、f は t の1次関数である。

　したがって2点を結ぶ直線の傾き (f_B - f_A)/(t_B - t_A) は、この1次関数の t の係数 f₀g/V、すなわち gf₀/V に等しい。

26 ④（1.0×10^2）

　図3から、点Aは t_A = 0.4 s、f_A = 3480 Hz、点Bは t_B = 1.0 s、f_B = 3540 Hz と読み取れる。

　傾きは (3540 - 3480)/(1.0 - 0.4) = 60÷0.6 = 100 = 1.0×10^2 [s^(-2)]。

27 ①（0.029V）

　25 より傾き = gf₀/V なので、g = （傾き）×V/f₀ と表せる。

　f₀ はマイクが静止していたときに観測していた振動数なので、図3で t = 0.0 から 0.4 s まで一定である値を読み取って f₀ = 3480 Hz。

　g = 1.0×10^2×V/3480 = 0.0287…×V ≒ 0.029V。

28 ③（点Cから点D）

　マイクが鉛直上向きに動いているときは音源から遠ざかるので、観測される振動数は静止時の f₀ = 3480 Hz より小さくなる。

　図3で f が 3480 Hz を下回っているのは点Cから点Dまでの区間だけである。点Bで音源に衝突して跳ね上がった直後の点Cで上向きの速さが最大なので f が最小になり、上昇するにつれて重力で減速して f は 3480 Hz に近づき、最高点に達した点Dで f = 3480 Hz（速さ 0）となる。点Dより後は落下に転じて f が 3480 Hz を超えるので、上昇はしていない。

29 ②（1.8）

　点Aでマイクが落下を始め、点Bで地面の音源に衝突したと読み取れるので、落下に要した時間は t_B - t_A = 1.0 - 0.4 = 0.6 s である。

　初速度 0 の自由落下なので、落下開始時の地面からの高さは h = (1/2)g(t_B - t_A)² = (1/2)×9.8×0.6² = 1.764 ≒ 1.8 m。

30 ④（5.0×10^(-1)）

　24 の式より f - f₀ = f₀v/V なので、マイクの速さは観測される振動数と f₀ との差に比例する（音源に近づくとき f > f₀、遠ざかるとき f < f₀）。

　衝突直前の点Bでは f_B - f₀ = 3540 - 3480 = 60 Hz、衝突直後の点Cでは f₀ - f_C = 3480 - 3450 = 30 Hz と読み取れる。比例定数 f₀/V は共通なので、速さの比はこの差の比に等しい。

　反発係数は e = （衝突直後の速さ）/（衝突直前の速さ）= 30÷60 = 0.50 = 5.0×10^(-1)。