大問Ⅰ　なめらかに動く台と小球、水平方向の運動量保存、力学的エネルギー保存、台にした仕事、弾性衝突と同形の連立式、台上での鉛直投げ上げ力学(運動量保存・重心系)・難易度 やや難　

1 ⓐ（(1/5)）

　点Dでは円弧面CDの接線が鉛直なので、点Dに到達した瞬間の小球の台に対する速度は鉛直方向のみであり、小球の床に対する水平方向の速度は台の速度 V に等しい。

　床も台の面もなめらかで、小球と台を合わせた系に水平方向の外力がはたらかないので、水平方向の運動量が保存する。mv = mV + 4mV = 5mV より V = (1/5)v。

2 ⓪（√(5gL)）

　小球は点Dに到達した後に円弧面CDから離れることなく下ったので、点Dでは台に対する速度が 0 であり、小球と台はともに速度 V = (1/5)v で動いている。点Dの高さは水平面BCから 2L である。

　面はなめらかなので力学的エネルギーが保存し、(1/2)mv² = (1/2)(5m)V² + mg(2L)。V = (1/5)v を代入すると (1/2)v² - (1/10)v² = 2gL、すなわち (2/5)v² = 2gL。

　よって v² = 5gL となり、v = √(5gL)。

3 ⓑ（(2/5)）

　小球が水平面BC上にある間、小球が台におよぼす力は鉛直方向だけなので台は動かない。したがって小球が点Cを通過する瞬間の台の速度は 0 である。

　台にはたらく力のうち仕事をするのは小球からの力だけなので、小球が台にした仕事は台の運動エネルギーの変化に等しい。点Dでの台の速さは (1/5)v だから、仕事は (1/2)(4m)((1/5)v)² - 0 = (2/25)mv²。

　v² = 5gL を代入すると (2/25)m×5gL = (2/5)mgL。よって係数は (2/5)。

4 ⑨（-(3/5)）

　小球が再び水平面BC上に戻ったときは高さがもとに戻るので、位置エネルギーの変化は 0 であり、水平方向の運動量保存と力学的エネルギー保存が同時に成り立つ。小球の速度を v₁、台の速度を v₂ とすると mv = mv₁ + 4mv₂ かつ (1/2)mv² = (1/2)mv₁² + (1/2)(4m)v₂²。

　これは弾性衝突と同じ連立方程式であり、v₁ = v（初めの状態）以外の解が求める速度で、v₁ = ((m - 4m)/(m + 4m))v = -(3/5)v。負号は点Bに向かう向き、すなわち左向きを表す。

5 ⓑ（(2/5)）

　4 と同じ連立方程式の解として v₂ = (2m/(m + 4m))v = (2/5)v。

　運動量保存の式からも確かめられる。mv = m(-(3/5)v) + 4mv₂ より 4mv₂ = mv + (3/5)mv = (8/5)mv、よって v₂ = (2/5)v。

6 ⓪（2）

　点Aでは円弧面ABの接線が鉛直なので、小球が飛び出す瞬間の小球の床に対する水平方向の速度は台の速度に等しい。運動量保存より mv = 5m×(その速度) となり、ともに (1/5)v である。

　点Aでの小球の鉛直方向の速さを u とすると、力学的エネルギー保存則より (1/2)mv² = (1/2)m((1/5)v)² + (1/2)mu² + (1/2)(4m)((1/5)v)² + mgL。整理すると (1/2)u² = (2/5)v² - gL であり、v² = 5gL を代入して u² = (4/5)v² - 2gL = 4gL - 2gL = 2gL。

　台から離れた後は小球に水平方向の力がはたらかないので、最高点では鉛直方向の速さだけが 0 になる。最高到達点の水平面BCからの高さは L + u²/(2g) = L + L = 2L。

7 ⓐ（(1/5)）

　小球が台から離れている間、台にはたらく水平方向の力は 0 である。床はなめらかなので台は等速度で動き続ける。

　その速度は、小球が点Aから飛び出した瞬間の台の速度 (1/5)v のままである。

8 ⑦（2√(2/5)）

　小球と台の水平方向の速度はどちらも (1/5)v で等しいので、台の上の観測者から見ると小球は鉛直投げ上げ運動をし、同じ高さに戻る。初速度の大きさが u = √(2gL) だから滞空時間は t = 2u/g = 2√(2gL)/g。

　この間に台が進む距離は (1/5)v×t = ((1/5)√(5gL))×(2√(2gL)/g) = (2/(5g))√(10g²L²) = ((2/5)√10)L。

　√(2/5) = (1/5)√10 なので ((2/5)√10)L = 2√(2/5)×L。よって係数は 2√(2/5)。

9 ⑥（円弧面CD上をDからCの向きに）

　小球の床に対する水平方向の速度は、水平面BC上を点Bから点Cへ進む間は v で一定、円弧面CDを点Cから点Dへ上る間は v から (1/5)v まで減少するが、いずれも正である。

　点Dから点Cへ下る間に小球の速度は (1/5)v から -(3/5)v まで連続的に変化するので、この間に初めて 0 になる。よって円弧面CD上をDからCの向きに運動しているときである。

10 ⓔ（(1/4)）

　小球の床に対する水平方向の速度が 0 になる瞬間の台の速度を V' とすると、水平方向の運動量保存より mv = m×0 + 4mV'。

　よって V' = (1/4)v。