大問Ⅱ　平行板コンデンサーの充電、極板間距離の変化と仕事、金属板の挿入と等価な極板間距離、金属板の接触と電荷の移動、電池を再接続したときの電荷配分電磁気(コンデンサー)・難易度 難　

11 ①（(V/R)）

　コンデンサーに電荷が無い状態では極板間の電位差は 0 なので、スイッチを閉じた直後は電池の電圧 V がそのまま抵抗にかかる。

　オームの法則より、抵抗に流れる電流は V/R。

12 ④（ε₀SV/(D-d)）

　十分に長い時間が経過すると充電が終わって電流が流れなくなり、抵抗での電圧降下が 0 になるので、コンデンサーの極板間の電位差は電池の電圧 V に等しくなる。

　極板の面積 S、極板間の距離 D-d の平行板コンデンサーの電気容量は C = ε₀S/(D-d) なので、Q = CV = ε₀SV/(D-d)。

13 ⓐ（d/(2(D-d))）

　スイッチを開いてあるので電荷 Q は変化しない。極板間の距離が x のときの静電エネルギーは U = Q²/(2C) = Q²x/(2ε₀S) であり、x に比例して増える。

　ゆっくり動かすので運動エネルギーは生じず、必要な仕事は静電エネルギーの増加分に等しい。W = Q²D/(2ε₀S) - Q²(D-d)/(2ε₀S) = Q²d/(2ε₀S)。

　12 より Q/(ε₀S) = V/(D-d) なので W = (Q/2)×d×V/(D-d) = QVd/(2(D-d))。よって係数は d/(2(D-d))。

14 ④（D/(D-d)）

　電荷は Q のままで、極板間の距離を D にしたときの電気容量は C' = ε₀S/D である。

　電位差は V' = Q/C' = QD/(ε₀S) = VD/(D-d)。

15 ②（D/(4(D-d))）

　導体の内部には電場ができないので、厚さ D/2 の金属板を入れると電場のある部分の長さの合計は D - D/2 = D/2 になる。これは極板間の距離が D/2 のコンデンサーと等価で、電気容量は C'' = ε₀S/(D/2) = 2ε₀S/D。

　電荷は Q のままなので、挿入後の静電エネルギーは U'' = Q²/(2C'') = Q²D/(4ε₀S)、挿入前は U' = Q²D/(2ε₀S) である。変化は U'' - U' = -Q²D/(4ε₀S) で、仕事の大きさはその絶対値 Q²D/(4ε₀S) = QVD/(4(D-d))。よって係数は D/(4(D-d))。

　なお符号が負であることは、金属板が極板間に引き込まれる向きに力を受けることを意味する。

16 ③（D/(2(D-d))）

　電荷 Q と 15 で求めた電気容量 C'' = 2ε₀S/D から、電位差は V'' = Q/C'' = QD/(2ε₀S)。

　12 の Q/(ε₀S) = V/(D-d) を使うと V'' = VD/(2(D-d))。

17 ⑧（0）

　金属板の厚さは D/2 のままなので、金属板を上下どちらへずらしても、電場のある部分の長さの合計は D - D/2 = D/2 で変わらない。したがって電気容量も変わらない。

　電荷も変わらないので静電エネルギー Q²/(2C'') が変化せず、ゆっくり動かすのに必要な仕事は 0 である。

18 ③（D/(2(D-d))）

　金属板が上側の極板に接すると、上側の極板と金属板は1つの導体になる。この導体がもつ電荷の合計は、接触前の上側の極板の電荷 Q と金属板の電荷 0 の和で Q のままである。

　したがって、下側の極板と金属板の下面の間（距離 D/2）に電荷 Q が蓄えられたコンデンサーと等価であり、電位差は QD/(2ε₀S) = VD/(2(D-d)) となる。これは接触させる前の 16 と同じ値である。

19 ①（D/(8(D-d))）

　接触していた金属板を離すと、下面にあった電荷 Q は金属板に残ったまま動く。その結果、金属板の電荷が Q、上側の極板の電荷が 0、下側の極板の電荷が -Q になる。

　図3の位置に戻すと、上側の極板と金属板の間では上下の電荷が打ち消し合って電場が 0 になり、下側の極板と金属板の間（距離 D/4）だけに大きさ Q/(ε₀S) の電場ができる。静電エネルギーは (1/2)ε₀(Q/(ε₀S))²×S×(D/4) = Q²D/(8ε₀S)。

　移動前は距離 D/2 の全体に同じ大きさの電場があったので静電エネルギーは Q²D/(4ε₀S) であり、変化は -Q²D/(8ε₀S)。仕事の大きさは Q²D/(8ε₀S) = QVD/(8(D-d)) で、係数は D/(8(D-d))。

20 ④（(3D-4d)/(2D)）

　スイッチを閉じる直前は、金属板の電荷が Q、上側の極板が 0、下側の極板が -Q である。スイッチを閉じても金属板は孤立したままなので電荷は Q で変わらず、電池は上下の極板の間で電荷をやりとりするだけだから、上下の極板の電荷の和は -Q のままである。

　上側の極板の電荷を q とすると下側の極板の電荷は -Q-q である。上側の極板と金属板の間（距離 D/4）の電場の大きさは q/(ε₀S)、下側の極板と金属板の間（距離 D/4）の電場の大きさは (Q+q)/(ε₀S) で、どちらも上側の極板の電位を高くする向きである。

　十分に時間が経過すると極板間の電位差は電池の電圧 V に等しくなるので、(D/(4ε₀S))(q + (Q+q)) = V。12 より V = Q(D-d)/(ε₀S) なので D(Q+2q)/4 = Q(D-d) となり、q = Q(3D-4d)/(2D)。