大問Ⅲ　反復試行の確率、数直線上の移動と到達位置の式、余事象、初めてある座標に到達する確率、排反事象の和数学A(確率)・難易度 標準　

(1) ア = 1、イ = 4

　1個のさいころで偶数の目が出る確率も奇数の目が出る確率も (1/2) である。n 回投げて偶数の目が k 回出たとき、P の座標は 1 + k - (n - k) = 1 + 2k - n となる。

　n = 2 で座標が -1 になるのは 1 + 2k - 2 = -1、すなわち k = 0 のとき、つまり2回とも奇数の目が出るときである。

　確率は ₂C₀(1/2)⁰(1/2)² = (1/4)。

(2) ウ = 3、エ = 8、オカ = 11、キク = 16

　n = 4 で座標が 1 になるのは 1 + 2k - 4 = 1、すなわち k = 2 のときで、確率は ₄C₂(1/2)⁴ = 6÷16 = (3/8)。

　n = 4 のとき座標は 2k - 3 (k = 0, 1, 2, 3, 4) なので -3, -1, 1, 3, 5 のいずれかであり、3の倍数になるのは -3 (k = 0) と 3 (k = 3) の場合だけである。

　よって3の倍数にならない確率は 1 - (₄C₀ + ₄C₃)÷2⁴ = 1 - (1 + 4)÷16 = (11/16)。

(3) ケコ = 15、サシ = 64

　n = 6 で座標が 3 になるのは 1 + 2k - 6 = 3、すなわち k = 4 のときである。

　これは6回のうち偶数の目がちょうど4回出る反復試行だから、確率は ₆C₄(1/2)⁶。

　₆C₄ = 15 なので 15÷64 = (15/64)。

(4) ス = 5、セソタ = 128

　7回目で初めて座標が 0 になるのは、1回目から6回目までは座標が 0 にならず（座標がつねに 1 以上で）、6回目の座標が 1 で、7回目に負の向きに進む場合である。

　座標が 1 以上のまま進む経路の本数を回数ごとに数えると、0回目は座標1が1通り、1回目は座標2が1通り、2回目は座標1が1通り・座標3が1通り、3回目は座標2が2通り・座標4が1通り、4回目は座標1が2通り・座標3が3通り・座標5が1通り、5回目は座標2が5通り・座標4が4通り・座標6が1通り、6回目は座標1が5通り・座標3が9通り・座標5が5通り・座標7が1通り。よって6回目に座標1にいる経路は5通りで、7回目の進み方は1通りに決まる。

　8回分の目の出方は等確率なので、求める確率は 5÷2⁷ = (5/128)。

(5) チツ = 65、テトナ = 128

　n 回後の座標は 1 + 2k - n なので、座標の偶奇は 1 - n の偶奇と一致する。座標が 3（奇数）になるには n が偶数でなければならないから a₁ = a₃ = a₅ = a₇ = 0。

　座標が 2 以下のまま進む経路の本数を数えると、2回目に座標2にいる経路は1通り（a₂ = 1÷2² = (1/4)）、3回目に座標2にいる経路は2通り（a₄ = 2÷2⁴ = (1/8)）、5回目に座標2にいる経路は5通り（a₆ = 5÷2⁶ = (5/64)）、7回目に座標2にいる経路は14通り（a₈ = 14÷2⁸ = (7/128)）である。いずれも最後の1回で座標3に進むので、この経路数がそのまま分子になる。

　これらの事象は互いに排反だから、a₁ + … + a₈ = (1/4) + (1/8) + (5/64) + (7/128) = (32 + 16 + 10 + 7)÷128 = (65/128)。