大問Ⅱ　虚数解をもつ3次方程式、接線の傾きと微分係数、3次関数の極値、剰余の定理、奇関数のグラフと面積、極値をとる条件からの係数決定数学II(複素数と方程式・微分法・積分法)・難易度 標準　

(1)(i) ア = 6

　a = 2 のとき f(x) = 2x³ + bx であり、x = √3 i を代入すると (√3 i)³ = 3√3・i³ = -3√3 i なので f(√3 i) = 2(-3√3 i) + b√3 i = (b - 6)√3 i。

　f(√3 i) = 0 より (b - 6)√3 i = 0、すなわち b - 6 = 0。

　よって b = 6。

(1)(ii) イ = 4、ウ = 8、エ = 9、オ = 6

　f(x) = 2x³ + bx より f'(x) = 6x² + b。接線の傾きは f'(1) = 6 + b なので、6 + b = 2 より b = -4。

　このとき f(x) = 2x³ - 4x、f'(x) = 6x² - 4 = 6(x + (√6/3))(x - (√6/3))。f'(x) は x < -(√6/3) で正、-(√6/3) < x < (√6/3) で負なので、x = -(√6/3) で極大となる。

　極大値は f(-(√6/3)) = 2・(-(6√6/27)) - 4・(-(√6/3)) = -(4√6/9) + (12√6/9) = (8/9)√6。

(2)(i) カ = 2、キ = 9

　剰余の定理より、f(x) を x + 3 で割った余りは f(-3) である。

　b = 3 なので f(-3) = a(-27) + 3(-3) = -27a - 9。

　-27a - 9 = -15 より -27a = -6、よって a = (2/9)。

(2)(ii) ク = 3、ケ = 4、コ = 6

　曲線が点 (2, 0) を通るから f(2) = 8a + 6 = 0、よって a = -(3/4)。

　このとき f(x) = -(3/4)x³ + 3x = -(3/4)x(x² - 4) = -(3/4)x(x+2)(x-2) なので、x 軸との交点の x 座標は -2, 0, 2。f(x) は奇関数なので、曲線と x 軸で囲まれた2つの部分の面積は等しい。

　0 ≦ x ≦ 2 では f(x) ≧ 0 だから、面積の和は 2∫₀² {-(3/4)x³ + 3x} dx = 2[-(3/16)x⁴ + (3/2)x²]₀² = 2(-3 + 6) = 6。

(3)(i) サ = 3、シ = 2、ス = 2

　b = -6a のとき f'(x) = 3ax² - 6a = 3a(x + √2)(x - √2)。a > 0 なので f'(x) は x < -√2 で正、-√2 < x < √2 で負であり、x = -√2 で極大となる。

　極大値は f(-√2) = a(-2√2) - 6a(-√2) = -2√2 a + 6√2 a = 4√2 a。

　4√2 a = 12 より a = 3÷√2 = (3/2)√2。

(3)(ii) セ = 1、ソタチ = 972

　b = 1 のとき f'(x) = 3ax² + 1。a ≧ 0 なら f'(x) > 0 となり極大値をもたないので a < 0 である。u = √(-3a) ( > 0 ) とおくと f'(x) = 3a(x + (1/u))(x - (1/u)) であり、3a < 0 だから f'(x) は -(1/u) < x < (1/u) で正、x > (1/u) で負となり、x = (1/u) で極大となる。

　a = -(u²/3) を用いると、極大値は f((1/u)) = -(u²/3)・(1/u³) + (1/u) = -(1/(3u)) + (1/u) = (2/(3u))。

　(2/(3u)) = 12 より u = (1/18)、よって -3a = u² = (1/324)、a = -(1/972)。