大問Ⅰ　余弦定理と内積、三角形の面積、内接円の半径と正弦定理による外接円の半径、重心と内心の位置ベクトル数学I(図形と計量)／数学C(平面ベクトル)・難易度 標準　

(1) ア = 1、イウ = 15、エ = 1

　余弦定理より cos∠BAC = (AB² + AC² - BC²)÷(2・AB・AC) = (9 + 25 - 36)÷(2・3・5) = -(2/30) = -(1/15)。

　内積の定義より、ベクトル AB とベクトル AC の内積は |AB||AC|cos∠BAC = 3・5・(-(1/15)) = -1。

　したがって cos∠BAC = -(1/15)、内積は -1 である。

(2) オ = 2、カキ = 14

　三角形の面積はベクトルを用いて (1/2)√{|AB|²|AC|² - (内積)²} と表せる。

　|AB|² = 9、|AC|² = 25、内積 = -1 なので (1/2)√(9・25 - 1) = (1/2)√224。

　224 = 16・14 より √224 = 4√14 だから、面積は 2√14。

(3) ク = 8、ケ = 7

　内接円の半径を r とすると、△ABC の面積は (1/2)(AB + BC + CA)r と表せる。

　(1/2)(3 + 6 + 5)r = 2√14 より 7r = 2√14、r = (2√14)÷7。

　よって内接円の面積は πr² = π・(4・14)÷49 = (8/7)π。

(4) コサ = 16、シス = 45

　sin∠BAC > 0 と cos∠BAC = -(1/15) より sin∠BAC = √{1 - (1/225)} = (√224)÷15 = (4√14)÷15。

　正弦定理 BC÷sin∠BAC = 2R より 2R = 6÷((4√14)÷15) = 90÷(4√14) = (45√14)÷28、よって R = (45√14)÷56。

　したがって (r/R) = ((2√14)÷7)÷((45√14)÷56) = (2/7)・(56/45) = (16/45)。

(5) セソ = 65、タ = 9

　辺 AC の中点を M とすると、重心 G は中線 BM を 2:1 に内分するので、ベクトル BG = (2/3)ベクトル BM。

　ベクトル BM = ベクトル AM - ベクトル AB = (1/2)ベクトル AC - ベクトル AB なので、|BM|² = (1/4)|AC|² - (AB と AC の内積) + |AB|² = (1/4)・25 + 1 + 9 = (65/4)。

　よって |BG|² = (4/9)|BM|² = (4/9)・(65/4) = (65/9)。

(6) チツ = 23、テト = 63

　直線 BI と辺 AC の交点を N とすると、BN は ∠ABC の二等分線だから AN:NC = AB:BC = 3:6 = 1:2、よってベクトル AN = (1/3)ベクトル AC。さらに AI は ∠BAC の二等分線だから BI:IN = BA:AN = 3:(5/3) = 9:5、よってベクトル BI = (9/14)ベクトル BN。

　ベクトル BN = (1/3)ベクトル AC - ベクトル AB だから、ベクトル BI = (3/14)ベクトル AC - (9/14)ベクトル AB。(5) より ベクトル BG = (2/3){(1/2)ベクトル AC - ベクトル AB} = (1/3)ベクトル AC - (2/3)ベクトル AB。

　ベクトル GI = ベクトル BI - ベクトル BG = {(3/14) - (1/3)}ベクトル AC + {-(9/14) + (2/3)}ベクトル AB = -(5/42)ベクトル AC + (1/42)ベクトル AB = (1/42)(ベクトル AB - 5ベクトル AC)。

　よって |GI|² = (1/42²){|AB|² - 10(AB と AC の内積) + 25|AC|²} = (1/1764)(9 + 10 + 625) = (644/1764) = (23/63)。