大問Ⅲ　理想気体の状態方程式、液体中のピストンのつり合いと水圧、断熱変化 PV^γ=一定、微小変化の近似と体積変化の幾何熱力学（断熱変化と液体中のピストン）・難易度 やや難　

23 ④（PV/R）

　封入された気体は 1 mol なので、理想気体の状態方程式は PV = 1×R×T である。

　これを T について解くと T = PV/R となる。

24 ⑥（P_0 + ρhg）

　ピストンは質量も厚さも無視できるので、上下から受ける力がつり合う。

　深さ h での液体の圧力は P_0 + ρhg なので、PS = (P_0 + ρhg)S。

　両辺を S で割って P = P_0 + ρhg を得る。

25 ⑧（Δh-Δz）

　気体のうち容器上面と液面の間にある部分は、長さが z から z-Δz になるので体積が SΔz 減る。

　液面とピストンの間にある部分は、長さが h から h+Δh になるので体積が SΔh 増える。

　よって ΔV = -SΔz + SΔh = S×(Δh-Δz) である。

26 ⑥（(V/V')^(γ-1)）

　PV = RT、P'V' = RT' である。断熱変化の式 P'(V')^γ = P V^γ を P'V'(V')^(γ-1) = PV・V^(γ-1) と書き直す。

　PV = RT、P'V' = RT' を代入すると RT'(V')^(γ-1) = RT・V^(γ-1)。

　よって T' = T × (V/V')^(γ-1) となる。

27 ②（Δh）

　図2でもピストンにはたらく力のつり合いから P' = P_0 + ρh'g = P_0 + ρ(h+Δh)g である。

　24 の P = P_0 + ρhg を辺々引くと ΔP = P' - P = ρgΔh。

　沈める深さが増えた分だけ液体の圧力が大きくなる、ということである。

28 ⑤（1 + ρgV/(γSP)）

　V' = V(P/P')^(1/γ) = V(1 + ΔP/P)^(-1/γ) で、|ΔP| が P よりじゅうぶん小さいので近似式より V' ≒ V{1 - ΔP/(γP)}。

　よって ΔV = V'-V = -VΔP/(γP) = -VρgΔh/(γP) となる。

　これを ΔV/S = Δh-Δz に代入すると -VρgΔh/(γSP) = Δh - Δz。

　Δz について解いて Δz = Δh + VρgΔh/(γSP) = Δh×{1 + ρgV/(γSP)}。

29 ③（ρ_1/ρ_2）

　気体の圧力は容器内で一様なので、2つのピストンの内側にはたらく圧力はどちらも P_A である。

　ピストン1のつり合いより P_A = P_0 + ρ_1 g h_1、ピストン2のつり合いより P_A = P_0 + ρ_2 g h_2。

　2式から P_0 を消すと ρ_1 h_1 = ρ_2 h_2 となり、h_2 = h_1 × (ρ_1/ρ_2)。

30 ⑧（-2SΔZ+S(Δh_1+Δh_2)）

　平面Aより上の部分の体積 S_A L は、容器が変形しないので変わらない。

　平面Aより下の気体は、断面積 S のピストン1側とピストン2側の2つの部分からなる。液面と容器上面の距離が ΔZ 減ると、どちらの部分も長さが ΔZ 減るので体積は合わせて 2SΔZ 減る。

　一方、ピストン1、2がそれぞれ Δh_1、Δh_2 だけ深くなるので体積は S(Δh_1+Δh_2) 増える。

　よって ΔV_A = -2SΔZ + S(Δh_1+Δh_2) である。

31 ①（ρ_1）

　図4でもピストン1のつり合いから P'_A = P_0 + ρ_1 g h'_1 = P_0 + ρ_1 g(h_1+Δh_1) である。

　29 の P_A = P_0 + ρ_1 g h_1 を辺々引くと ΔP_A = ρ_1 gΔh_1 = gΔh_1 × ρ_1。

32 ⑨（(1/2)(1 + ρ_1/ρ_2) + ρ_1 g V_A/(2γS P_A)）

　28 と同じ近似から ΔV_A = -V_AΔP_A/(γP_A) = -V_A ρ_1 gΔh_1/(γP_A) である。

　29 と同じ関係が変化分にも成り立つので Δh_2 = (ρ_1/ρ_2)Δh_1。これを 30 に代入すると

　-2SΔZ + SΔh_1(1 + ρ_1/ρ_2) = -V_A ρ_1 gΔh_1/(γP_A)。

　ΔZ について解くと ΔZ = Δh_1×{(1/2)(1 + ρ_1/ρ_2) + ρ_1 g V_A/(2γS P_A)} となる。