大問Ⅰ　V-t グラフの傾きと面積、慣性力を加えた円運動の運動方程式、見かけの重力のもとでの単振り子、鉛直面内の円運動で糸がたるまない条件力学（非慣性系・慣性力と円運動）・難易度 やや難　

1 ①（(V_1-V_0)/(t_1-t_0)）

　加速度は V-t グラフの傾きに等しい。t_0<t<t_1 では速度が t_0 のときの V_0 から t_1 のときの V_1 まで直線的に増えるので、

　傾きは (V_1-V_0)/(t_1-t_0) であり、これが加速度の大きさ a_1 である。

2 ⑦（0）

　t_1<t<t_2 では V-t グラフが時間軸に平行で、速度は V_1 のまま変わらない。等速直線運動なので a_2 = 0 である。

3 ⑥（(V_1-V_0)/(t_3-t_2)）

　t_2<t<t_3 では速度が V_1 から V_0 まで直線的に減るので、傾きは (V_0-V_1)/(t_3-t_2) で負である。

　問われているのは大きさなので a_3 = (V_1-V_0)/(t_3-t_2) となる。

4 ⓪（-t_0-t_1+t_2+t_3）

　移動した距離は V-t グラフの t_0≦t≦t_3 の部分と時間軸が囲む図形の面積に等しい。

　台形（t_0〜t_1）、長方形（t_1〜t_2）、台形（t_2〜t_3）に分けると

　面積 = (V_0+V_1)(t_1-t_0)/2 + V_1(t_2-t_1) + (V_1+V_0)(t_3-t_2)/2。

　ここから V_0(t_3-t_0) を引くと {(V_1-V_0)/2}×{(t_1-t_0) + 2(t_2-t_1) + (t_3-t_2)} = {(V_1-V_0)/2}×(-t_0-t_1+t_2+t_3)。

5 ⑤（m (v_0)^2/r + m a_1）

　台車とともに動く観測者から見ると、台車が y 軸正の向きに大きさ a_1 で加速しているので、小球には大きさ m a_1 の慣性力が y 軸負の向きにはたらく。

　時刻 t_0 に小球は原点Oにあり、点A(0, r) は小球から見て y 軸正の向きなので、糸の張力も y 軸正の向きである。

　点Aを中心とする半径 r の円運動の運動方程式は m(v_0)^2/r = S - m a_1 となるので、張力は S = m(v_0)^2/r + m a_1。

6 ③（(v_0)^2/(2a_1)）

　台車の上では大きさ a_1 の慣性力が y 軸負の向きに一定にはたらくので、小球は長さ r の振り子とまったく同じ運動をする。

　y=0 の点Oがこの振り子の最下点にあたる。力学的エネルギー保存則より (1/2)m(v_0)^2 = m a_1 h。

　よって h = (v_0)^2/(2a_1) である。

7 ⓓ（π√(r/a_1)）

　h は r に比べてじゅうぶん小さいので、振れ幅の小さい単振り子とみなせる。

　重力加速度にあたるのが a_1、糸の長さが r なので周期は 2π√(r/a_1) である。

　最下点Oを出発して最高点（y=h）に達し、再び最下点Oに戻るまではその半分の時間なので T_1 = π√(r/a_1)。

8 ④（m (v_0)^2/r）

　t_1<t<t_2 では a_2 = 0 なので慣性力ははたらかない。水平面内で小球にはたらく力は糸の張力だけである。

　張力はつねに点Aを向くので仕事をせず、速さは v_0 のままで等速円運動になる。

　円運動の運動方程式より張力の大きさは m(v_0)^2/r である。

9 ③（πr/v_0）

　速さ v_0 の等速円運動で半径 r の円を半周するので、道のりは πr である。

　よって T_2 = πr/v_0。

10 ⓔ（√(r/(2h))）

　T_2/T_1 = (πr/v_0) ÷ {π√(r/a_1)} = (r/v_0)×√(a_1/r) = √(r a_1)/v_0。

　6 より a_1 = (v_0)^2/(2h) なので √(r a_1) = √(r (v_0)^2/(2h)) = v_0 √(r/(2h))。

　よって T_2/T_1 = √(r/(2h)) となる。

11 ⓖ（√5）

　t_2<t<t_3 では台車が減速するので、慣性力は y 軸正の向きで大きさ m a_3 である。

　したがってこの向きが「下」にあたり、点A(0, r) から見て点 (0, 2r) が最下点、原点Oが最高点になる。

　最高点で糸がたるまない条件は、そこでの速さを v として m v^2/r ≧ m a_3 である。

　力学的エネルギー保存則 (1/2)(v_0)^2 = (1/2)v^2 + a_3×2r より v^2 = (v_0)^2 - 4a_3 r。

　これを代入して (v_0)^2 - 4a_3 r ≧ a_3 r、すなわち (v_0)^2 ≧ 5a_3 r。よって v_0 ≧ √5 × √(r a_3)。

12 ⓘ（(5/2)）

　v_0 が最小値をとるとき (v_0)^2 = 5a_3 r である。

　6 より a_1 = (v_0)^2/(2h) なので a_1 = 5a_3 r/(2h)。

　両辺を a_3 で割ると a_1/a_3 = (5/2)×(r/h) となる。