大問Ⅲ　導関数を使って定まる漸化式、階差数列が等差数列になる場合の一般項、条件を満たす定数の決定数学B(数列)／数学II(微分法)・難易度 標準　

(1) ア = 4、イ = 5、ウ = 8

　f(x) = x² − 3x + 5 より f'(x) = 2x − 3 であり、y_1 = f(0) = 5 である。

　r = 1 のとき漸化式は y_{n+1} = y_n + f'(n) = y_n + 2n − 3 となる。

　よって y_2 = 5 + f'(1) = 5 + (−1) = 4、y_3 = 4 + f'(2) = 4 + 1 = 5、y_4 = 5 + f'(3) = 5 + 3 = 8 である。

(2) エ = 7、オ = 9、カ = 2、キ = 9、クケ = 25

　r = (1/3) のとき y_{n+1} − y_n = (1/3)f'((1/3)n) = (1/3){(2/3)n − 3} = (2/9)n − 1 である。

　これを階差数列 b_n とおくと b_n = (2/9)n − 1 だから、b_1 = (2/9) − 1 = −(7/9) であり、b_{n+1} − b_n = (2/9) は n によらないので {b_n} は初項 −(7/9)、公差 (2/9) の等差数列である。

　n ≧ 2 のとき y_n = y_1 + Σ[k = 1 から n−1 まで] b_k だから、

　y_19 = 5 + Σ[k = 1 から 18 まで] {(2/9)k − 1} = 5 + (2/9)・(18・19)/2 − 18 = 5 + (2/9)・171 − 18 = 5 + 38 − 18 = 25 である。

(3) コ = 1、サ = 4

　y_7 − y_6 = r・f'(6r) = r(12r − 3) = 3r(4r − 1) である。

　y_6 = y_7 すなわち y_7 − y_6 = 0 となるのは 3r(4r − 1) = 0 のときで、r > 0 より r = (1/4) である。

(4) シ = 1、スセ = 10、ソタチツ = 9715

　y_{n+1} − y_n = r・f'(rn) = r(2rn − 3) = 2r²n − 3r だから、

　y_101 = y_1 + Σ[n = 1 から 100 まで] (2r²n − 3r) = 5 + 2r²・(100・101)/2 − 300r = 5 + 10100r² − 300r である。

　f(10) + 1 = (100 − 30 + 5) + 1 = 76 だから 10100r² − 300r + 5 = 76、すなわち 10100r² − 300r − 71 = 0。

　判別式は 300² + 4・10100・71 = 90000 + 2868400 = 2958400 = 1720² だから r = (300 ± 1720) ÷ 20200 となり、r > 0 より r = 2020 ÷ 20200 = (1/10) である。

　r = (1/10) のとき、同じ式で n = 1000 までを足して y_1001 = 5 + 2r²・Σ[n = 1 から 1000 まで] n − 3r・1000 = 5 + 2・(1/100)・500500 − 300 である。

　2・(1/100)・500500 = 10010 だから y_1001 = 5 + 10010 − 300 = 9715 である。