大問Ⅰ　放物線の頂点の軌跡、2つの放物線の共有点と囲む面積、ただ1つの共有点をもつ条件と接線数学I(2次関数)／数学II(図形と方程式・積分法)・難易度 標準　

(1) ア = 2、イ = 3、ウ = 1

　D の式を平方完成すると y = −(x² − 2mx) − 3m² + 3m + 1 = −(x − m)² + m² − 3m² + 3m + 1 = −(x − m)² − 2m² + 3m + 1 となる。

　よって D の頂点は (m, −2m² + 3m + 1) である。

　頂点の x 座標を x、y 座標を y とおくと x = m、y = −2m² + 3m + 1 だから、m を消去して y = −2x² + 3x + 1 を得る。

(2)(i) エ = 1、オ = 1、カ = 3

　m = (1/3) のとき D : y = −x² + (2/3)x − 3・(1/9) + 1 + 1 = −x² + (2/3)x + (5/3) である。

　共有点の x 座標は x² + 2x + 1 = −x² + (2/3)x + (5/3) の解であり、整理すると 2x² + (4/3)x − (2/3) = 0、両辺を (3/2) 倍して 3x² + 2x − 1 = 0。

　(3x − 1)(x + 1) = 0 より x = −1、(1/3) である。

(ii) キク = 64、ケコ = 81

　(i) より C の式から D の式を引いた差は 2x² + (4/3)x − (2/3) = 2(x + 1)(x − (1/3)) であり、−1 < x < (1/3) では C より D の方が上にある。

　よって求める面積は ∫[−1 から (1/3)] {−2(x + 1)(x − (1/3))} dx である。

　公式 ∫[α から β] (x − α)(x − β) dx = −(1/6)(β − α)³ を使うと、面積は 2・(1/6)・((1/3) − (−1))³ = (1/3)・(4/3)³ = (1/3)・(64/27) = (64/81) である。

(3)(i) サ = 1、シ = 5、ス = 1

　C と D の共有点の x 座標は x² + 2x + 1 = −x² + 2mx − 3m² + 3m + 1、すなわち 2x² + 2(1 − m)x + 3m² − 3m = 0 の解である。

　共有点がただ1つであることは、この2次方程式が重解をもつこと、すなわち判別式が0になることと同値である。

　判別式を4で割った値は (1 − m)² − 2(3m² − 3m) = 1 − 2m + m² − 6m² + 6m = −5m² + 4m + 1 であり、これが0になるのは 5m² − 4m − 1 = 0、すなわち (5m + 1)(m − 1) = 0 のときである。

　よって m = −(1/5)、1 であり、小さい方から α = −(1/5)、β = 1 である。

(ii) セ = 4、ソ = 5、タチ = 16、ツテ = 25

　m = α = −(1/5) のとき 2x² + 2(1 − m)x + 3m² − 3m = 0 は重解をもち、その解は x = −(1 − m)/2 = −(1 + (1/5))/2 = −(3/5) である。

　このとき D : y = −x² + 2・(−(1/5))x − 3・(1/25) + 3・(−(1/5)) + 1 = −x² − (2/5)x − (3/25) − (3/5) + 1 = −x² − (2/5)x + (7/25) である。

　y' = −2x − (2/5) だから、x = −(3/5) における接線の傾きは −2・(−(3/5)) − (2/5) = (6/5) − (2/5) = (4/5)。

　接点の y 座標は −(9/25) + (6/25) + (7/25) = (4/25) だから、ℓ の方程式は y − (4/25) = (4/5)(x + (3/5))、すなわち y = (4/5)x + (12/25) + (4/25) = (4/5)x + (16/25) である。