大問Ⅱ　連立不等式が表す領域の格子点の個数、領域における1次式・2次式の最大最小、円周上での線形式の最大数学II(図形と方程式)／数学I(2次関数)・難易度 標準　

(1) アイ = 37、ウ = 7、エ = 6

　x 座標と y 座標がともに整数である D の点は、x ≧ 3、y ≧ 3 かつ x² + y² ≦ 100 を満たす整数の組である。

　x = 3 のとき y² ≦ 91 より 3 ≦ y ≦ 9 で7個、x = 4 のとき y² ≦ 84 より 3 ≦ y ≦ 9 で7個、x = 5 のとき y² ≦ 75 より 3 ≦ y ≦ 8 で6個、x = 6 のとき y² ≦ 64 より 3 ≦ y ≦ 8 で6個、x = 7 のとき y² ≦ 51 より 3 ≦ y ≦ 7 で5個、x = 8 のとき y² ≦ 36 より 3 ≦ y ≦ 6 で4個、x = 9 のとき y² ≦ 19 より 3 ≦ y ≦ 4 で2個であり、x ≧ 10 では y ≧ 3 を満たせない。

　合計は 7 + 7 + 6 + 6 + 5 + 4 + 2 = 37 個である。x = 3 である点は上の数え上げより7個。

　y = 5 である点は x² ≦ 75 より 3 ≦ x ≦ 8 の6個である。

(2) オカ = 22、キ = 4、ク = 2

　E では不等号がすべて等号を含まないので、整数の組は x ≧ 4、y ≧ 4 かつ x² + y² ≦ 99 を満たすものである。

　x = 4 のとき y² ≦ 83 より 4 ≦ y ≦ 9 で6個、x = 5 のとき y² ≦ 74 より 4 ≦ y ≦ 8 で5個、x = 6 のとき y² ≦ 63 より 4 ≦ y ≦ 7 で4個、x = 7 のとき y² ≦ 50 より 4 ≦ y ≦ 7 で4個、x = 8 のとき y² ≦ 35 より 4 ≦ y ≦ 5 で2個、x = 9 のとき y² ≦ 18 より y = 4 の1個であり、合計は 6 + 5 + 4 + 4 + 2 + 1 = 22 個である。

　x = 6 である点は上より4個、y = 8 である点は x² ≦ 35 かつ x ≧ 4 より x = 4、5 の2個である。

(3) ケコ = 22

　2x + y = k とおくと y = −2x + k であり、k はこの直線の y 切片である。傾きが負の直線を右上へ平行移動するほど k は大きくなるので、D の整数点のうち右上にあるものを調べればよい。

　(1) で数えた点のうち、各 x に対する y の最大値を使って 2x + y を計算すると、x = 7 で y = 7 のとき 21、x = 8 で y = 6 のとき 22、x = 9 で y = 4 のとき 22、x = 6 で y = 8 のとき 20 であり、これ以外はこれらより小さい。

　よって最大値は 22 である（(x, y) = (8, 6)、(9, 4) のとき）。

(4) サ = 9

　x² − y² = (x + y)(x − y) であり、② を満たす整数では x ≧ 4、y ≧ 4 だから x + y > 0 である。さらに x > y より x − y ≧ 1 である。

　x − y = 1 のとき x² − y² = x + y は最小の x + y で最小になる。x ≧ 4、y ≧ 4、x = y + 1 を満たす整数で x² + y² ≦ 99 となるもののうち x + y が最小なのは (x, y) = (5, 4) で、このとき x² − y² = 25 − 16 = 9 である。

　x − y ≧ 2 のときは y ≧ 4 かつ x ≧ 6 だから x + y ≧ 10 であり、x² − y² ≧ 2・10 = 20 > 9 となるので、最小値は 9 である。

(5) シス = 10、セ = 5、ソ = 2、タ = 5

　x + 2y = k とおくと、これは傾き −(1/2) の直線であり、D と共有点をもつ範囲で k を最大にすればよい。

　k が最大になるのは直線が円 x² + y² = 100 に接するときで、原点と直線 x + 2y − k = 0 の距離が半径 10 に等しいから |−k| ÷ √(1² + 2²) = 10、すなわち k = 10√5（k > 0 の側をとる）である。

　このときの接点は、原点から直線に下ろした垂線の足で、法線ベクトル (1, 2) の向きに半径ぶん進んだ点だから (x, y) = 10・(1, 2)/√5 = (2√5, 4√5) である。

　x = 2√5 ≒ 4.47 は 3 以上、y = 4√5 ≒ 8.94 も 3 以上なのでこの接点は D に含まれ、最大値は 10√5、そのときの x は 2√5 である。