大問Ⅰ　斜面方向の運動方程式、等加速度運動の式、力学的エネルギー保存則、所要時間 t の θ 依存性と最小値、弾性衝突を含む往復時間力学（斜面上の等加速度運動と所要時間の最小化）・難易度 標準　

1 ①（sinθ）

　斜面AB方向の運動方程式は ma = mg sinθ である。重力 mg のAB方向の成分が mg sinθ だから a = g sinθ となり、g に掛かる因子は sinθ である。

2 ⑤（1/sinθ）

　AB間の距離は h/sinθ である。初速0の等加速度直線運動なので h/sinθ = (1/2)(g sinθ)(t_AB)^2。

　整理すると (t_AB)^2 = 2h/(g sin^2θ) で、t_AB>0 より t_AB = √(2h/g) × (1/sinθ)。

3 ⑤（√2）

　力学的エネルギー保存則より (1/2)m(v_B)^2 = mgh。よって v_B = √(2gh) = √2 × √(gh)。

　v_B = (g sinθ)(t_AB) = g sinθ × √(2h/g)/sinθ = √(2gh) と計算しても同じである。

4 ⑥（(2-cosθ)/sinθ）

　OB = h/tanθ、OC = 2h なので BC = 2h - h/tanθ。BC間は速さ v_B の等速直線運動だから

　t_1 = t_AB + BC/v_B = √(2h/g)/sinθ + 2h/v_B - h/(v_B tanθ)。

　h/v_B = h/√(2gh) = √(h/(2g))、√(2h/g) = 2√(h/(2g)) を使うと

　t_1 = 2h/v_B + √(h/(2g)) × {2/sinθ - cosθ/sinθ} = 2h/v_B + √(h/(2g)) × (2-cosθ)/sinθ。

5 ③（π/3）

　f(θ) = (2-cosθ)/sinθ の最小を調べる。f'(θ) = {sin^2θ - (2-cosθ)cosθ}/sin^2θ = (1-2cosθ)/sin^2θ。

　0<θ<π/2 では cosθ = (1/2)、すなわち θ = π/3 を境に f' の符号が負から正に変わるので、ここで t_1 は最小になる。

6 ②

　g = 9.8、h = 4.0 のとき 2h/v_B = √(2h/g) = 0.90 s、√(h/(2g)) = 0.45 s である。

　t_1 = 0.90 + 0.45×(2-cosθ)/sinθ に代入すると θ = π/6 で約1.93 s、π/4 で約1.73 s、π/3 で約1.69 s、5π/12 で約1.72 s、π/2 で約1.81 s。

　θ = π/3 で最小になり、左端が約1.93 s、右端が約1.80 s のグラフは②である。

7 ⑧（3 + 1/sinθ）

　AB + BC = 3h が一定で AB = h/sinθ なので BC = 3h - h/sinθ。

　t_2 = t_AB + BC/v_B = √(h/(2g))×2/sinθ + √(h/(2g))×(3 - 1/sinθ) = √(h/(2g))×(3 + 1/sinθ)。

　ここでも h/v_B = √(h/(2g)) を使っている。

8 ⑥

　t_2 = 0.45×(3 + 1/sinθ) は sinθ が増えるほど小さくなるので、0<θ<π/2 で単調に減少する。

　θ = π/6 で約2.26 s、π/4 で約1.99 s、π/3 で約1.88 s、π/2 で約1.81 s となる。

　単調減少で左端が 2.2 s をこえ、右端が約1.80 s になるグラフは⑥である。

9 ③（6）

　板との衝突が弾性衝突なので速さは変わらず、BC間を往復する時間は片道の2倍である。

　t_3 = t_AB + 2×BC/v_B = √(h/(2g))×2/sinθ + 2√(h/(2g))×(3 - 1/sinθ) = √(h/(2g))×6。

　1/sinθ の項が打ち消し合い、θ が消えることに注意する。

10 ⑧

　9 より t_3 = 6√(h/(2g)) は θ を含まない定数である。g = 9.8、h = 4.0 のとき t_3 = 6×0.45 = 2.71 s。

　θ によらず一定値をとる水平な直線のグラフは⑧である。