大問Ⅲ　さいころ2個の目の和の倍数・約数、4個の目の積が定まる確率、得点差で勝敗が決まるゲームの確率数学A(場合の数と確率)・難易度 やや難　

(1) ア = 1、イ = 4、ウ = 1、エ = 9

　さいころを2回投げたときの目の出方は 6² = 36 通りで、どれも同様に確からしい。

　和が4の倍数になるのは和が 4、8、12 のときで、和が4になるのは (1, 3)、(2, 2)、(3, 1) の3通り、和が8になるのは (2, 6)、(3, 5)、(4, 4)、(5, 3)、(6, 2) の5通り、和が12になるのは (6, 6) の1通りだから、3 + 5 + 1 = 9 通り。確率は (9/36) = (1/4) である。

　和は2以上なので、和が4の約数（1、2、4）になるのは和が 2、4 のときで、1 + 3 = 4 通り。確率は (4/36) = (1/9) である。

(2) オ = 1、カキ = 54

　さいころを4回投げたときの目の出方は 6⁴ = 1296 通りである。

　150 = 2・3・5² であり、1から6までの数で素因数5をもつのは5だけだから、4つの目のうちちょうど2つが5で、残り2つの目の積は 150 ÷ 25 = 6 でなければならない。

　積が6になる2つの目の組は {1, 6} と {2, 3} の2通りなので、4つの目の組は {5, 5, 1, 6} と {5, 5, 2, 3} である。

　どちらも同じ数が2つ含まれるので並べ方は 4!/(2!) = 12 通りずつあり、合わせて 24 通り。確率は (24/1296) = (1/54) である。

(3)(i) ク = 1、ケコ = 81

　1回の対戦では、得点を得るのは大きい目を出した一方だけであり、その得点は目の差の絶対値である。

　A の合計得点が4点、B の合計得点が2点になるのは、一方の対戦で A が4点を得て、もう一方の対戦で B が2点を得る場合に限られる。

　1回の対戦で A が4点を得るのは (A, B) = (5, 1)、(6, 2) の2通りで確率 (2/36) = (1/18)、B が2点を得るのは (A, B) = (1, 3)、(2, 4)、(3, 5)、(4, 6) の4通りで確率 (4/36) = (1/9) である。

　どちらの対戦で A が4点を得るかで2通りあるから、確率は 2・(1/18)・(1/9) = (1/81) である。

(ii) サシ = 73、スセソ = 648

　1回の対戦で、A が d 点を得る確率と B が d 点を得る確率はともに (6−d)/36（d = 1, 2, 3, 4, 5）であり、引き分け（同じ目）になる確率は (6/36) = (1/6) である。

　2回の対戦で合計得点が等しくなるのは、2回とも同じ目で両者とも0点の場合か、一方の対戦で A が d 点、もう一方で B が同じ d 点を得る場合である（1回だけ得点が入ると合計得点は必ず異なる）。

　前者の確率は (1/6)² = (1/36)、後者は d ごとに 2・{(6−d)/36}² なので、

　2{(5/36)² + (4/36)² + (3/36)² + (2/36)² + (1/36)²} = 2・(25 + 16 + 9 + 4 + 1)/1296 = (110/1296)。

　よって求める確率は (36/1296) + (110/1296) = (146/1296) = (73/648) である。

(iii) タチ = 31、ツテト = 864

　3回の対戦で A の合計得点が7点になるのは、A が得点した対戦の得点の和が7になる場合である。1回の得点は5以下だから、A が得点するのは2回または3回である。

　3回の対戦の目の出方は全部で 36³ = 46656 通りである。1回の対戦で A が d 点を得る目の出方は (6−d) 通り、B が d 点を得る目の出方も (6−d) 通り、引き分けは6通りである。

　A が3回とも得点して和が7になる得点の組は (1, 1, 5)、(1, 2, 4)、(1, 3, 3)、(2, 2, 3) とその並べ替えであり、この場合 B は0点だから条件を満たす。場合の数は

　3(5・5・1) + 6(5・4・2) + 3(5・3・3) + 3(4・4・3) = 75 + 240 + 135 + 144 = 594 通りである。

　A が2回だけ得点して和が7になるのは、2回の得点が (2, 5)、(3, 4)、(4, 3)、(5, 2) のいずれかのときで、残り1回は引き分けか B が3点以下を得る場合である。

　A の2回ぶんの場合の数は 4・1 + 3・2 + 2・3 + 1・4 = 20 通り、残り1回は引き分けが6通り、B が1点、2点、3点を得るのがそれぞれ 5、4、3 通りで合計 18 通りであり、3回のうちどれが残り1回かで3通りあるから 3・20・18 = 1080 通りである。

　合わせて 594 + 1080 = 1674 通りだから、確率は (1674/46656) = (31/864) である。なお、このとき A の得点7点は B の得点3点以下より多いので、A は必ず勝つ。