大問Ⅰ　t = sin x − cos x とおく置き換え、3倍角の公式、3次関数の定積分と最大値数学II(三角関数・微分法と積分法)・難易度 標準　

(1) ア = 1、イ = 2

　三角関数の合成より t = sin x − cos x = √2 sin(x − (π/4)) である。

　0 ≦ x ≦ π より −(π/4) ≦ x − (π/4) ≦ (3/4)π であり、この範囲で sin(x − (π/4)) は x − (π/4) = (π/2) のとき最大値 1、x − (π/4) = −(π/4) のとき最小値 −(1/√2) をとる。

　よって −1 ≦ t ≦ √2 となり、α = −1、β = √2 である。

(2) ウ = 1、エ = 2、オ = 1、カ = 2、キ = 2、ク = 3、ケ = 4

　t² = (sin x − cos x)² = sin²x − 2 sin x cos x + cos²x = 1 − 2 sin x cos x だから、

　sin x cos x = (1 − t²)/2 = −(1/2)t² + (1/2) である。

　3倍角の公式 sin 3x = 3 sin x − 4 sin³x、cos 3x = 4 cos³x − 3 cos x を使うと

　sin 3x + cos 3x = 3(sin x − cos x) − 4(sin³x − cos³x) となる。

　sin³x − cos³x = (sin x − cos x)(sin²x + sin x cos x + cos²x) = t(1 + sin x cos x) = t{1 + (1 − t²)/2} = (1/2)t(3 − t²) だから、

　sin 3x + cos 3x = 3t − 2t(3 − t²) = 2t³ − 3t である。

　よって y = 4 − (sin 3x + cos 3x) = −2t³ + 3t + 4、すなわち f(t) = −2t³ + 3t + 4 である。

(3) コ = 4、サ = 4、シ = 2

　∫[−1 から √2] (−2t³ + 3t + 4) dt = [−(1/2)t⁴ + (3/2)t² + 4t]（t = −1 から √2 まで）である。

　t = √2 のときの値は −(1/2)・4 + (3/2)・2 + 4√2 = −2 + 3 + 4√2 = 1 + 4√2。

　t = −1 のときの値は −(1/2) + (3/2) − 4 = −3。

　よって定積分の値は (1 + 4√2) − (−3) = 4 + 4√2 である。

(4) ス = 5、セソ = 12、タ = 4、チ = 2

　f'(t) = −6t² + 3 = −6{t² − (1/2)} より、f'(t) = 0 となるのは t = ±(1/√2) である。

　−1 ≦ t ≦ √2 において f(t) は t = −(1/√2) で極小、t = (1/√2) で極大となるから、最大値の候補は t = (1/√2) と右端 t = √2 の値である。

　f(1/√2) = −2・(1/(2√2)) + 3・(1/√2) + 4 = −(1/√2) + (3/√2) + 4 = √2 + 4、f(√2) = −4√2 + 3√2 + 4 = 4 − √2 であり、√2 + 4 > 4 − √2 だから最大値は 4 + √2 である。

　このとき √2 sin(x − (π/4)) = (1/√2) すなわち sin(x − (π/4)) = (1/2) であり、−(π/4) ≦ x − (π/4) ≦ (3/4)π の範囲では x − (π/4) = (π/6)、(5/6)π が候補になるが、x ≦ π より x − (π/4) ≦ (3/4)π なので x − (π/4) = (π/6)。

　よって x = (π/4) + (π/6) = (5/12)π である。