大問Ⅱ　内積が0になる点の決定、垂直な2辺からの三角形の面積、四面体の体積、なす角の余弦、点と平面の距離数学B・C(空間ベクトル)・難易度 標準　

(1) ア = 6、イ = 6、ウエ = 18

　AB→ = (4−2, 7−3, 2−(−2)) = (2, 4, 4)、AC→ = (6−2, 5−3, −6−(−2)) = (4, 2, −4) である。

　|AB→| = √(2² + 4² + 4²) = √36 = 6、|AC→| = √(4² + 2² + (−4)²) = √36 = 6 である。

　AB→・AC→ = 2・4 + 4・2 + 4・(−4) = 8 + 8 − 16 = 0 だから AB→ ⊥ AC→ であり、△ABC は ∠A = 90° の直角三角形である。

　よって面積は (1/2)・|AB→|・|AC→| = (1/2)・6・6 = 18 である。

(2) オ = 5、カ = 0、キ = 1、ク = 2、ケ = 9

　M は zx 平面上の点だから y 座標は 0 で、M(x, 0, z) とおける。このとき AM→ = (x−2, −3, z+2) である。

　AM→・AB→ = 2(x−2) + 4・(−3) + 4(z+2) = 2x + 4z − 8 = 0 より x + 2z = 4。

　AM→・AC→ = 4(x−2) + 2・(−3) + (−4)(z+2) = 4x − 4z − 22 = 0 より 2x − 2z = 11。

　2式を解いて z = −(1/2)、x = 5 となるから、M(5, 0, −(1/2)) である。

　AM→ = (3, −3, (3/2)) は AB→、AC→ の両方に垂直だから、AM→ は平面 ABC に垂直である。P は MA を 2 : 1 に内分する点だから AP→ = (1/3)AM→ であり、|AP→| = (1/3)|AM→| = (1/3)√(9 + 9 + (9/4)) = (1/3)・(9/2) = (3/2)。

　AP→ も平面 ABC に垂直なので、点 P と平面 ABC の距離は (3/2) である。

　よって四面体 PABC の体積は (1/3)・△ABC・(3/2) = (1/3)・18・(3/2) = 9 である。

(3) コ = 3、サ = 2、シス = 17、セ = 1、ソタ = 17

　P は MA を 2 : 1 に内分する点だから OP→ = (1/3)OM→ + (2/3)OA→ であり、

　P((1/3)・5 + (2/3)・2, (1/3)・0 + (2/3)・3, (1/3)・(−(1/2)) + (2/3)・(−2)) = P(3, 2, −(3/2)) である。

　BP→ = (3−4, 2−7, −(3/2)−2) = (−1, −5, −(7/2)) だから |BP→| = √(1 + 25 + (49/4)) = √(153/4) = (3/2)√17 である。

　PB→ = (1, 5, (7/2))、PC→ = (6−3, 5−2, −6+(3/2)) = (3, 3, −(9/2)) であり、

　PB→・PC→ = 3 + 15 − (63/4) = (9/4)、|PC→| = √(9 + 9 + (81/4)) = √(153/4) = (3/2)√17 である。

　よって cos∠BPC = (9/4) ÷ {(3/2)√17・(3/2)√17} = (9/4) ÷ (153/4) = (1/17) である。

(4) チ = 2、ツ = 2

　平面 BCP の法線ベクトルを n→ = (p, q, r) とすると、n→・PB→ = 0、n→・PC→ = 0 より

　p + 5q + (7/2)r = 0、3p + 3q − (9/2)r = 0 が成り立つ。

　第2式を (3/2) で割って 2p + 2q − 3r = 0、第1式を2倍して 2p + 10q + 7r = 0 とし、辺々引くと 8q + 10r = 0、すなわち q = −(5/4)r。これを 2p + 2q − 3r = 0 に代入して p = (11/4)r となるので、r = 4 として n→ = (11, −5, 4) がとれる。

　PM→ = (5−3, 0−2, −(1/2)+(3/2)) = (2, −2, 1) であり、|MH→| は点 M と平面 BCP の距離だから

　|MH→| = |PM→・n→| ÷ |n→| = |22 + 10 + 4| ÷ √(121 + 25 + 16) = 36 ÷ √162 = 36 ÷ (9√2) = (4/√2) = 2√2 である。