大問Ⅲ　定積・定圧・等温変化における熱量と仕事、長方形サイクルの熱効率、ばねをつないだときの圧力と体積の関係熱力学(気体のサイクル)・難易度 標準　

22 ①（p0V0/R）

　理想気体の状態方程式 pV = nRT に n = 1 mol、p = p0、V = V0 を代入すると p0V0 = R T0。

　よって T0 = p0V0/R。

23 ③（2Mg/S）

　状態Bでピストンが動き始める瞬間、ピストン（質量は無視できる）にはたらく力がつり合っている。

　下から押す気体の力 (3/2)p0 S と、上から押す大気の力 p0 S ＋ おもりの重力 Mg がつり合うので

　(3/2)p0 S = p0 S + Mg、すなわち (1/2)p0 S = Mg より p0 = 2Mg/S。

24 ⑦（(3/4)）

　A→B はピストンが動かないので定積変化である。圧力が p0 から (3/2)p0 になるので、

　状態方程式より温度も T0 から (3/2)T0 になる。

　単原子分子理想気体の定積モル比熱は (3/2)R なので QAB = 1×(3/2)R×((3/2)T0 - T0) = (3/4)R T0。

25 ⓑ（(15/8)）

　B→C は圧力 (3/2)p0 のままの定圧変化である。体積が V0 から (3/2)V0 になるので

　温度は (3/2)T0 から (3/2)×(3/2)T0 = (9/4)T0 になる。

　定圧モル比熱は (5/2)R なので QBC = 1×(5/2)R×((9/4)T0 - (3/2)T0) = (5/2)R×(3/4)T0 = (15/8)R T0。

26 ⑥（(1/4)）

　1サイクルで気体が外部にした正味の仕事は、p-V 図の閉曲線で囲まれた面積に等しい。

　図3は縦 (3/2)p0 - p0 = (1/2)p0、横 (3/2)V0 - V0 = (1/2)V0 の長方形なので

　W = (1/2)p0×(1/2)V0 = (1/4)p0V0 = (1/4)R T0。右回りのサイクルなので符号は正である。

27 ⓕ（(2/21)）

　熱効率は e = W/（気体が受け取った熱量の和）である。熱を受け取ったのは A→B と B→C だけで、

　C→D と D→A では放出している。受け取った熱量の和は (3/4)R T0 + (15/8)R T0 = (21/8)R T0。

　よって e = (1/4)R T0 ÷ (21/8)R T0 = (1/4)×(8/21) = (2/21)。

28 ①

　C→E は温度一定の等温変化で、体積が (3/2)V0 から V0 へ減るので圧力は上がる。

　等温変化では pV が一定なので p-V 図では双曲線になり、グラフは2点を結ぶ直線より下側を通る（原点側にふくらむ）。

　E の圧力は (3/2)p0 より高いので E は B より上にあり、この条件をすべて満たすのは ① である。

29 ⑧（(9/4)）

　C→E は等温変化なので pV が一定である。(3/2)p0×(3/2)V0 = pE×V0。

　よって pE = (3/2)×(3/2)p0 = (9/4)p0。

30 ②（kx/S）

　ばねはピストンが x だけ上がると x だけ伸び、ピストンを下向きに kx の力で引く。

　ピストンの質量は無視できるので力のつり合いは pS = p0 S + kx、したがって p = p0 + kx/S。

31 ⑥（(k/(S^2))(V-V0)）

　V = V0 + Sx より x = (V - V0)/S。これを 30 の結果に代入すると

　p - p0 = k(V-V0)/S^2 = (k/(S^2))(V - V0)。

32 ③

　31 より p は V の1次関数であり、傾き k/S^2 は正の定数である。

　したがって p-V 図は A(V0, p0) から右上へ向かう傾き一定の直線になる。曲線の ①② や折れ線の ④⑤ は不適である。