大問Ⅰ　ばねでつながれた小球と台の2体問題、運動量保存則とエネルギー保存則、換算質量による相対運動の単振動力学(単振動)・難易度 やや難　

1 ⑨（v0√(m/k)）

　台Bが固定されているので、小球Aだけの力学的エネルギー保存則が使える。ばねの伸びが最大のとき小球の速さは 0 である。

　(1/2)m v0^2 = (1/2)k d^2 より d = v0√(m/k)。これが自然長からの伸びなので xA = l + v0√(m/k)。

2 ⑤（2π√(m/k)）

　ばねの伸びを x として運動方程式は ma = -kx、すなわち a = -(k/m)x。

　単振動の式 a = -ω^2 x と比べて ω = √(k/m)、よって T0 = 2π/ω = 2π√(m/k)。

3 ④（(m/(m+M))v0）

　床とのあいだに摩擦がないので、A と B を合わせた系の水平方向の運動量は保存する。

　ばねが最も伸びたとき A は B に対して静止、すなわち両者の速度が等しく v1 なので

　m v0 = (m+M)v1 より v1 = (m/(m+M))v0。

4 ⑦（l + v0√(mM/(k(m+M)))）

　ばねの伸びを d とすると、力学的エネルギー保存則より (1/2)m v0^2 = (1/2)(m+M)v1^2 + (1/2)k d^2。

　v1 = m v0/(m+M) を代入すると (1/2)k d^2 = (1/2)m v0^2(1 - m/(m+M)) = (1/2)(mM/(m+M))v0^2。

　よって d = v0√(mM/(k(m+M)))、x1 = l + d となる。

　換算質量 mM/(m+M) が、台が固定されていたときの m の役割をしていることがわかる。

5 ③（-k(xA-xB-l)）

　ばねの自然長からの伸びは (xA - xB) - l である。A には、伸びているときは左向き（負の向き）に、

　縮んでいるときは右向きに弾性力がはたらくので m aA = -k(xA - xB - l)。

6 ⑥（k(xA-xB-l)）

　ばねが A に及ぼす力と B に及ぼす力は作用・反作用の関係にあるので、向きが逆で大きさが等しい。

　よって M aB = +k(xA - xB - l) となる。

7 ⑤（-k((m+M)/(mM))(x-l)）

　5 より aA = -(k/m)(x-l)、6 より aB = (k/M)(x-l)。差をとると

　a = aA - aB = -k((1/m) + (1/M))(x-l) = -k((m+M)/(mM))(x-l)。

8 ⑧（√(k(m+M)/(mM))）

　7 は、x = l を中心とする単振動の式 a = -ω^2(x-l) の形をしている。

　係数を比べて ω^2 = k(m+M)/(mM)、よって ω = √(k(m+M)/(mM))。

　mM/(m+M) を換算質量といい、2体問題は換算質量をもつ1体の単振動に帰着する。

9 ⑦（l + (v0/ω)sin(ωt)）

　x は l を中心とする単振動である。t=0 で x = l（自然長）、相対速度は v0 なので、中心を速さ v0 で通過する運動である。

　したがって振幅は v0/ω で x = l + (v0/ω)sin(ωt) と書ける。

10 ④（v0 cos(ωt)）

　9 を時間で微分すると v = (v0/ω)ω cos(ωt) = v0 cos(ωt)。t=0 で v = v0 となり初期条件に合う。

11 ④（1 + (M/m)cos(ωt)）

　運動量保存則 m vA + M vB = m v0 と、相対速度の式 vA - vB = v0 cos(ωt) を連立する。

　vB = vA - v0 cos(ωt) を代入すると (m+M)vA - M v0 cos(ωt) = m v0。

　よって vA = (m v0 + M v0 cos(ωt))/(m+M) = (m v0/(m+M))(1 + (M/m)cos(ωt))。

12 ⑧（1 - cos(ωt)）

　vB = vA - v0 cos(ωt) に 11 を代入すると

　vB = (m v0 + M v0 cos(ωt))/(m+M) - v0 cos(ωt) = (m v0 - m v0 cos(ωt))/(m+M) = (m v0/(m+M))(1 - cos(ωt))。

　vB は常に 0 以上であり、台Bは右向きにしか動かないことがわかる。