大問Ⅲ　方向余弦、座標軸とのなす角、平行で大きさを指定したベクトル、内積となす角、余弦定理と球の表面積数学C(空間ベクトル)・難易度 標準　

(1) ア = 1、イ = 2、ウ = 1、エ = 3

　単位ベクトルの各成分は、そのベクトルと各座標軸の正の方向とのなす角の余弦（方向余弦）に等しい。

　よって x 成分は cos(π/3) = (1/2)、y 成分は cos(π/4) = (√2/2) である。

　成分の2乗の和は 1 だから z 成分の2乗は 1 - (1/4) - (1/2) = (1/4) で、z 軸とのなす角が鋭角より z 成分は (1/2)。その角を θ とすると cos θ = (1/2) で 0 < θ < (π/2) だから θ = (1/3)π。

(2) オ = 6、カ = 2、キ = 3、ク = 3、ケ = 2

　β は鋭角で sin β = (√6/3) なので cos β = √(1 - (6/9)) = √(3/9) = (√3/3) である。

　ベクトル OB の方向余弦は x 成分 cos α = (√6/6)、y 成分 cos β = (√3/3) で、z 成分の2乗は 1 - (6/36) - (3/9) = 1 - (1/6) - (1/3) = (1/2)、z 軸とのなす角が鋭角より z 成分は (√2/2)。

　求めるベクトルはこの単位ベクトルの 6 倍だから 6・((√6/6), (√3/3), (√2/2)) = (√6, 2√3, 3√2) であり、x 成分 √6 は正である。

(3) コ = 1、サ = 6

　ベクトル OC の x 成分を c（z 軸とのなす角が鋭角なので z 成分 3c > 0、よって c > 0）とすると OC = (c, √2 c, 3c) である。

　大きさは √(c² + 2c² + 9c²) = √(12c²) = 2√3 c なので、z 軸の正の方向とのなす角を φ とすると cos φ = 3c ÷ (2√3 c) = (3/(2√3)) = (√3/2)。

　0 < φ < (π/2) より φ = (1/6)π である。

(4) シ = 1、ス = 6、セ = 1、ソタ = 12

　球面 S の半径を r とすると、(1)(2)(3) の単位ベクトルを r 倍して OA = r((1/2), (√2/2), (1/2))、OB = r((√6/6), (√3/3), (√2/2))、OC = r((√3/6), (√6/6), (√3/2)) と表せる。

　cos∠AOC = (OA・OC)/(|OA||OC|) = {(1/2)(√3/6) + (√2/2)(√6/6) + (1/2)(√3/2)} = (√3/12) + (√3/6) + (√3/4) = (√3/2) なので、0 ≦ ∠AOC ≦ π より ∠AOC = (1/6)π。

　cos∠BOC = (√6/6)(√3/6) + (√3/3)(√6/6) + (√2/2)(√3/2) = (√2/12) + (√2/6) + (√6/4) = (√2/4) + (√6/4) = cos(π/3)cos(π/4) + sin(π/3)sin(π/4) = cos((π/3) - (π/4)) = cos(π/12) なので ∠BOC = (1/12)π。

(5) チ = 8、ツ = 4、テ = 3

　OA = OC = r（球面 S の半径）で ∠AOC = (π/6) だから、△OAC に余弦定理を用いると AC² = r² + r² - 2r²cos(π/6) = (2 - √3)r²。

　AC = 1 より (2 - √3)r² = 1、すなわち r² = 1/(2 - √3) = 2 + √3。

　球の表面積は 4πr² なので 4π(2 + √3) = (8 + 4√3)π である。