大問Ⅱ　2放物線の交点、面積公式による面積と面積の分割、四角形の面積の最大、内分点と垂直条件数学II(図形と方程式／微分法と積分法)・難易度 標準　

(1) ア = 1、イ = 4

　交点の x 座標は x² - 8 = -x² + 6x の解である。

　整理すると 2x² - 6x - 8 = 0、すなわち x² - 3x - 4 = 0 となり (x+1)(x-4) = 0 より x = -1, 4。

　a < b だから a = -1、b = 4 である。

(2) ウ = 5、エオ = 10

　A の y 座標は (-1)² - 8 = -7、B の y 座標は 4² - 8 = 8 なので A(-1, -7)、B(4, 8) である。

　AB = √{(4-(-1))² + (8-(-7))²} = √(25 + 225) = √250 = 5√10。

(3) カキク = 125、ケ = 3、コ = 1、サ = 2

　a < x < b では D が上、C が下にあるので、囲まれた図形の面積は ∫[-1→4] {(-x²+6x) - (x²-8)} dx = -2∫[-1→4] (x+1)(x-4) dx = 2・(1/6)・{4-(-1)}³ = (125/3) である。

　P の x 座標を p（-1 < p < 4）とすると、直線 AP と放物線 C で囲まれた部分の面積は (1/6)・(p - (-1))³ = (1/6)(p+1)³ であり、これが全体の 1 : 15 の小さいほうにあたる。

　(1/6)(p+1)³ = (1/16)・(125/3) = (125/48) より (p+1)³ = (125/8)、p + 1 = (5/2)、p = (3/2) で -1 < p < 4 を満たす。

　放物線 y = x² - 8 上の2点 (a, a²-8)、(p, p²-8) を結ぶ直線の傾きは a + p なので、傾きは -1 + (3/2) = (1/2) である。

(4) シスセ = 125、ソ = 4

　直線 AB は 2点 A(-1, -7)、B(4, 8) を通り、傾きは {8-(-7)}/{4-(-1)} = 3 なので y = 3x - 4、すなわち 3x - y - 4 = 0 である。

　四角形 APBQ は対角線 AB で2つの三角形 △APB と △AQB に分かれる。P(p, p²-8) と直線 AB の距離は |3p - (p²-8) - 4| ÷ √10 = (-p²+3p+4) ÷ √10（-1 < p < 4 では -p²+3p+4 > 0）であり、Q(q, -q²+6q) と直線 AB の距離は |3q - (-q²+6q) - 4| ÷ √10 = (-q²+3q+4) ÷ √10 となって、同じ形の式になる。

　-p²+3p+4 = -(p - (3/2))² + (25/4) なので、どちらの距離も p = q = (3/2) のとき最大値 (25/4) ÷ √10 をとる。

　このとき四角形の面積は 2・(1/2)・AB・{(25/4) ÷ √10} = 5√10・(25/4) ÷ √10 = (125/4) であり、これが最大値である。

(5) タ = 1、チ = 3、ツ = 6

　直線 AB の傾きは 3 だから、これに垂直な直線 PQ の傾きは -(1/3) である。

　△APQ と △BPQ は底辺 PQ を共有するので、面積比は A, B から直線 PQ までの距離の比に等しい。よって A と B は直線 PQ に関して反対側にあり、線分 AB と直線 PQ の交点を R とすると AR : RB = 4 : 1 である。

　R は線分 AB を 4 : 1 に内分する点なので R((1・(-1) + 4・4)/5, (1・(-7) + 4・8)/5) = (3, 5)。

　傾き -(1/3) で点 (3, 5) を通る直線は y - 5 = -(1/3)(x - 3)、すなわち y = -(1/3)x + 6 である。