大問Ⅰ　格子状の経路の総数、特定の点を通る経路、補集合と包含と排除の原理数学A(場合の数)・難易度 標準　

(1) アイ = 15

　(0, 0) から (4, 2) に至るには右移動を4回、上移動を2回、合計6回の移動を行う。

　道順は6回の移動のうちどの2回を上移動にするかで決まるから、総数は ₆C₂ = 15 である。

(2) ウエ = 64

　B は i + j = 6 を満たす点の集合なので、(0, 0) から B の点に至る道順は、ちょうど6回の移動を行い、その各回で右移動か上移動かを選ぶことに対応する。

　どの選び方をしても途中の点は i + j ≦ 6 を満たし G の上にあるから、総数は 2⁶ = 64 である。

(3) オ = 9

　(0, 0) から (2, 1) までは右移動2回・上移動1回で ₃C₁ = 3 通り、(2, 1) から (4, 2) までは右移動2回・上移動1回で ₃C₁ = 3 通りである。

　前半と後半は独立に選べるので、積の法則より 3・3 = 9 通り。

(4) カキ = 24

　(0, 0) から (2, 1) までは (3) より 3 通りである。

　(2, 1) は i + j = 3 の点だから、そこから B の点に至るにはちょうど3回の移動を行い、各回で右か上かを選べばよく 2³ = 8 通り。

　よって 3・8 = 24 通りである。

(5) クケ = 12

　(0, 0) から (2, 1) までは 3 通り、(2, 1) から (2, 2) までは上移動1回だけなので 1 通りである。

　(2, 2) は i + j = 4 の点だから、そこから B の点に至るのは 2² = 4 通り。

　よって 3・1・4 = 12 通りである。

(6) コサ = 28

　(0, 0) から B に至る道順全体の集合を U、そのうち (2, 1) を通るものの集合を P、(2, 2) を通るものの集合を Q とすると、求める総数は U から P ∪ Q を除いた個数である。

　(2) より U の要素数は 64、(4) より P の要素数は 24、(5) より P ∩ Q の要素数は 12 である。Q の要素数は、(0, 0) から (2, 2) までが ₄C₂ = 6 通り、(2, 2) から B までが 2² = 4 通りなので 6・4 = 24。

　包含と排除の原理より P ∪ Q の要素数は 24 + 24 - 12 = 36 なので、求める総数は 64 - 36 = 28 である。