大問Ⅱ　はしご形回路の合成抵抗、電圧と電流を2辺とするタイル表現、漸化式と極限から黄金比が出ること電磁気(直流回路)・難易度 やや難　

10 ②（2）

　S1 だけを閉じると、電流は電池 → 1個目の横向きの抵抗 → 1個目の縦向きの抵抗 → S1 → 電池 の1本道しか通れない。

　S2, S3 が開いているので2個目以降の抵抗には電流が流れない。よって R1 = 1 + 1 = 2〔Ω〕。

11 ⓓ（(5/3)）

　S2 も閉じると、1個目の縦向きの抵抗（1Ω）と、2個目の横向きの抵抗と2個目の縦向きの抵抗の直列（1+1 = 2Ω）とが並列になる。

　並列部分は (1×2)/(1+2) = (2/3)〔Ω〕。これに1個目の横向きの抵抗が直列なので R2 = 1 + (2/3) = (5/3)〔Ω〕。

12 ⓗ（(13/8)）

　右端から順にまとめる。3個目の横向きと3個目の縦向きの直列が 2Ω、これと2個目の縦向きの 1Ω が並列で (2/3)Ω。

　これに2個目の横向きの 1Ω を直列に足して (5/3)Ω、これと1個目の縦向きの 1Ω が並列で (1×(5/3))/(1+(5/3)) = (5/8)Ω。

　最後に1個目の横向きの 1Ω を足して R3 = 1 + (5/8) = (13/8)〔Ω〕。

13 ①（両端の電位差が等しい）

　並列接続では各抵抗の両端が同じ2点につながれているので、どの抵抗にも同じ電圧がかかる。

　タイル図では縦軸が電圧なので「縦の長さが等しい」ことになり、同じ高さのタイルを横に並べた図3(b)になる。

14 ①

　R2 の回路は「1Ω」と「並列部分」の直列なので、まず全体が縦に2分割される。

　その下側の並列部分は2つの枝の並列なので横に2分割され、さらにそのうち一方（横1Ω＋縦1Ω の直列）は縦に2分割される。

　この分割の順序どおりになっているのは ① である。

15 ②

　R3 では 14 の分割に加えて、最後に残った枝がさらに「並列 → 直列」と分かれる。

　すなわち ① の右下の小タイルがもう一段だけ横に2分割され、その一方が縦に2分割された形になる。これが ② である。

16 ⑧（64:1）

　どの抵抗も 1Ω なので、消費電力 P = (電流)^2 ×1 より電力の比は電流の2乗の比になる。

　電池を出た電流を I とすると、最初の分岐では 1Ω と R2 = (5/3)Ω に分かれるので、抵抗に反比例して (5/8)I と (3/8)I。

　次の分岐では 1Ω と R1 = 2Ω に分かれるので、(3/8)I がさらに (1/4)I と (1/8)I に分かれる。

　したがって電流は大きい順に I, (5/8)I, (3/8)I, (1/4)I, (1/8)I, (1/8)I であり、最大と最小の電力の比は 1^2:(1/8)^2 = 64:1。

17 ①

　R(n+1) の回路は「1Ω」と「1Ω および Rn の並列」の直列である。まず直列なので縦に2分割され、

　下側の並列部分が横に2分割されて、その一方がちょうど Rn のタイルになる。これに当てはまるのは ① である。

18 ④（Rn + 1）

　Rn のタイルは横 a、縦 aRn である。これと並列になる 1Ω の抵抗のタイルは、並列なので縦の長さが同じ aRn で、

　縦横比が抵抗値 1 に等しいから横の長さも aRn になる。よって並列部分全体の横の長さは a + aRn = (Rn+1)×a。

19 ⑦（2Rn + 1）

　並列部分の縦の長さは aRn、横の長さは (Rn+1)a である。これに直列につながる 1Ω のタイルは横の長さが同じ (Rn+1)a で、

　縦横比が 1 だから縦の長さも (Rn+1)a になる。したがって全体の縦の長さは aRn + (Rn+1)a = (2Rn+1)×a。

20 ⑨（(2Rn+1)/(Rn+1)）

　タイルの縦横比が抵抗値だから R(n+1) = 縦 ÷ 横 = (2Rn+1)a ÷ (Rn+1)a = (2Rn+1)/(Rn+1)。

21 ③（(√5+1)/2）

　R = (2R+1)/(R+1) の両辺に R+1 を掛けると R^2 + R = 2R + 1、すなわち R^2 - R - 1 = 0。

　解の公式より R = (1±√5)/2 であり、抵抗値は正なので R = (√5+1)/2〔Ω〕。