大問Ⅲ　底の変換公式、相加平均と相乗平均による最小値、常用対数表を用いた値の評価数学II(指数関数と対数関数)・難易度 標準　

(1) ア = 0、イ = 7、ウ = 9、エ = 4、オ = 5

　表の log₁₀ 4.0 = .6021 より log₁₀ 2 = (1/2)log₁₀ 4 = (1/2)・0.6021 = 0.30105 なので小数第2位は 0。

　log₁₀ 3.6 = .5563 は log₁₀(4・3²÷10) = log₁₀ 4 + 2log₁₀ 3 - 1 なので 2log₁₀ 3 = 0.5563 + 1 - 0.6021 = 0.9542、log₁₀ 3 = 0.4771 で小数第2位は 7。

　log₁₀ 5 = log₁₀(10÷2) = 1 - 0.30105 = 0.69895 なので小数第2位は 9。log₁₀ 3.5 = .5441 は log₁₀(5・7÷10) = log₁₀ 5 + log₁₀ 7 - 1 なので log₁₀ 7 = 0.5441 + 1 - 0.69895 = 0.84515 で小数第2位は 4。

　log₂ 3 = log₁₀ 3 ÷ log₁₀ 2 = 0.4771 ÷ 0.30105 = 1.58… なので小数第1位は 5。

(2) カ = 9、キ = 4

　t = log₂ x とおくと x > 1 より t > 0 で、底の変換公式から logₓ(16x) = log₂(16x) ÷ log₂ x = (4 + t)/t、また log₂(16x) = 4 + t である。

　よって f(x) = (4+t)/t + 4 + t = t + (4/t) + 5 となり、t > 0、(4/t) > 0 だから相加平均と相乗平均の関係より t + (4/t) ≧ 2√(t・(4/t)) = 4、f(x) ≧ 9。

　等号は t = (4/t) すなわち t = 2、x = 2² = 4 のときに成り立つので m = 9、x = 4。

(3) ク = 2、ケコ = 16

　f(x) = 10 は t + (4/t) + 5 = 10、すなわち t² - 5t + 4 = 0 である。

　(t-1)(t-4) = 0 より t = 1, 4 で、どちらも t > 0 を満たす。

　x = 2ᵗ だから x = 2, 16 である。

(4)(i) サ = 3、シ = 5、ス = 5、セ = 3

　f(x) = 11 は t + (4/t) + 5 = 11、すなわち t² - 6t + 4 = 0 で、t = 3 ± √5 である。どちらも正なので、小さい順に log₂ α = 3 - √5、log₂ β = 3 + √5。

　2.23² = 4.9729 < 5 < 5.0176 = 2.24² より 2.23 < √5 < 2.24 なので 5.23 < 3 + √5 < 5.24。

　したがって整数部分は 5、小数第1位は 2、小数第2位は 3 である。

(4)(ii) ソ = 1、タチ = 37

　log₂ α = 3 - √5 は 0 < 3 - √5 < 1 を満たすから 1 < α < 2 であり、α を超えない最大の整数は 1 である。

　log₁₀ β = (3 + √5)・log₁₀ 2 で、5.23 < 3 + √5 < 5.24 と log₁₀ 2 = 0.30105 より 5.23・0.30105 = 1.574… < log₁₀ β < 1.577… = 5.24・0.30105 となる。

　表より log₁₀ 3.7 = .5682、log₁₀ 3.8 = .5798 だから 1 + 0.5682 < log₁₀ β < 1 + 0.5798、すなわち log₁₀ 37 < log₁₀ β < log₁₀ 38 なので 37 < β < 38 であり、β を超えない最大の整数は 37 である。