大問Ⅰ　定数を含む円の方程式、定点通過、半径の最小、座標軸および直線との接触と接点数学II(図形と方程式)・難易度 標準　

(1) ア = 3、イ = 1、ウ = 1、エ = 3

　与式を k について整理すると (x² + y² - 10) + k(4x - 2y + 10) = 0 となる。

　k の値に関係なくこれが成り立つのは x² + y² - 10 = 0 かつ 4x - 2y + 10 = 0 のときである。

　後者より y = 2x + 5 で、前者に代入して x² + (2x+5)² = 10、すなわち 5x² + 20x + 15 = 0、(x+3)(x+1) = 0 より x = -3, -1。対応する y はそれぞれ -1, 3 なので定点は (-3, -1)、(-1, 3) である。

(2) オ = 1

　円が原点を通るとは、(x, y) = (0, 0) が方程式を満たすことである。

　代入すると 0 + 0 + 0 - 0 + 10k - 10 = 0 となり、10k = 10 すなわち k = 1。

(3) カ = 1、キ = 2、ク = 1、ケ = 5

　平方完成すると (x + 2k)² + (y - k)² = 4k² + k² - 10k + 10 = 5k² - 10k + 10 なので、中心は (-2k, k)、半径の2乗は 5k² - 10k + 10 である。

　5k² - 10k + 10 = 5(k - 1)² + 5 だから、半径の2乗は k = 1 のとき最小値 5 をとる。

　このとき中心は (-2, 1)、半径は √5 である。

(4) コ = 5、サシ = 15

　円が y 軸に接する条件は、中心 (-2k, k) と y 軸の距離すなわち |-2k| が半径に等しいことである。

　|-2k| = √(5k² - 10k + 10) の両辺を2乗して 4k² = 5k² - 10k + 10、よって k² - 10k + 10 = 0 から k = 5 ± √15。

　接点は中心から y 軸へ下ろした垂線の足なので、その y 座標は中心の y 座標 k に等しい。5 以上という条件より k = 5 + √15（5 - √15 は 5 より小さいので不適）。

(5) ス = 7、セ = 4、ソ = 1、タ = 1、チ = 2

　直線を 2x - y + (5/2) = 0 と書くと、接する条件は中心 (-2k, k) とこの直線の距離が半径に等しいことである。

　点と直線の距離の公式より |2(-2k) - k + (5/2)|² ÷ 5 = 5k² - 10k + 10、すなわち (5 - 10k)² ÷ 20 = 5k² - 10k + 10。

　左辺は (100k² - 100k + 25) ÷ 20 = 5k² - 5k + (5/4) なので 5k² が両辺で消え、-5k + (5/4) = -10k + 10 から 5k = (35/4)、k = (7/4)。

　このとき中心は (-(7/2), (7/4))。接点は中心から接線に下ろした垂線の足だから、中心を通り傾き -(1/2) の直線 y = -(1/2)x と y = 2x + (5/2) の交点を求めて (x, y) = (-1, (1/2))。