大問Ⅱ　n 進法と10進法の変換、各位の数の決定、不定方程式 (n-1)a = (n+1)b の整数解数学A(整数の性質)・難易度 標準　

(1) ア = 1、イ = 0

　n 進法の2桁の数 ab₍ₙ₎ は na + b を表すから、20₍₂₂₎ = 2・22 + 0 = 44 である。

　44 = ab₍₄₄₎ = 44a + b で、1 ≦ a ≦ 43、0 ≦ b ≦ 43 の範囲で考えると a = 1、b = 0。

(2) ウ = 1、エオ = 21

　同じく 44 = ab₍₂₃₎ = 23a + b で、1 ≦ a ≦ 22、0 ≦ b ≦ 22 である。

　b が 0 以上 22 以下であることから a は 44 を 23 で割った商、すなわち a = 1 となる。

　このとき b = 44 - 23 = 21 で、0 ≦ 21 ≦ 22 を満たす。

(3) カ = 1、キクケコ = 2017、サ = 7、シスセソ = 2021

　2022₍₂₀₂₂₎ = 2・2022³ + 0・2022² + 2・2022 + 2 である。

　2022 = 2023 - 1 を代入すると 2・(2023-1)³ + 2・(2023-1) + 2 = 2・2023³ - 6・2023² + 6・2023 - 2 + 2・2023 - 2 + 2 = 2・2023³ - 6・2023² + 8・2023 - 2 となる。

　各位が 0 以上 2022 以下になるように繰り下げる。定数項 -2 に 2023 を足して 2021 とし 2023 の位から 1 を借りると 8 - 1 = 7、さらに -6 に 2023 を足して 2017 とし 2023³ の位から 1 を借りると 2 - 1 = 1 となるので

　2022₍₂₀₂₂₎ = 1・2023³ + 2017・2023² + 7・2023 + 2021 であり、a = 1、b = 2017、c = 7、d = 2021。

(4) タチツテ = 1010、ト = 7

　ab₍ₙ₎ = na + b、ba₍ₙ₊₂₎ = (n+2)b + a なので na + b = (n+2)b + a、整理して (n-1)a = (n+1)b である。

　n-1 と n+1 の差は 2 だから、その最大公約数は 1 か 2 である。最大公約数が 1 だとすると a は n+1 の倍数となり a ≧ n+1 となって 1 ≦ a ≦ n-1 に反する。よって n-1 と n+1 はともに偶数、すなわち n は奇数で、自然数 k を用いて n = 2k+1 と書ける。

　このとき 2ka = (2k+2)b すなわち ka = (k+1)b で、k と k+1 は互いに素だから a は k+1 の倍数である。a = t(k+1)（t は自然数）とおくと a ≦ n-1 = 2k より t = 1 に限られ、a = k+1、b = k を得る。これは 1 ≦ a ≦ 2k、1 ≦ b ≦ 2k を満たす。

　n = 2k+1 ≦ 2022 より k ≦ 1010 なので k は 1 から 1010 までの 1010 通りあり、m = na + b = (2k+1)(k+1) + k = 2k² + 4k + 1 は k について増加するから m も 1010 個すべて異なる。したがって総数は 1010 であり、最小値は k = 1 のときの m = 2 + 4 + 1 = 7 である。