大問Ⅰ　鉛直面内の円運動とレールから外れる条件力学・難易度 標準　

1 ④（v²/R）

　半径 R の円周上を速さ v で動く物体の加速度のうち、円の中心を向く成分（向心加速度）の大きさは v²/R である。

2 ⑥（N−mg cosθ）

　小球にはたらく力はレールからの垂直抗力 N と重力 mg の2つ。θ は最下点Pから測った角なので、小球の位置から中心Oへ向かう「内向き」は鉛直上向きから θ だけ傾いた向きである。垂直抗力はレールの内側から中心を向くので内向きに +N、重力 mg は鉛直下向きなので内向き成分は −mg cosθ。合計して N−mg cosθ。

3 ⑨（√(v₀²−2gR(1−cosθ))）

　角 θ の点の高さは点Pより R−R cosθ = R(1−cosθ) だけ高い。摩擦も空気抵抗もないので力学的エネルギーは保存し、(1/2)mv₀² = (1/2)mv²+mgR(1−cosθ)。これを v について解くと v = √(v₀²−2gR(1−cosθ))。

4 ⑨（mv₀²/R−mg(2−3cosθ)）

　向心方向の運動方程式 m·v²/R = N−mg cosθ に 3 の結果を代入する。N = m{v₀²−2gR(1−cosθ)}/R+mg cosθ = mv₀²/R−2mg+2mg cosθ+mg cosθ = mv₀²/R−mg(2−3cosθ)。

5 ②（√(2gR)）

　0≦θ≦90° では cosθ≧0 なので N = mv²/R+mg cosθ≧0 が自動的に成り立ち、レールから外れることはない。したがって(A)と(B)の境目は「θ = 90° でちょうど速さが 0 になる」ときである。3 の式に θ = 90°、v = 0 を入れると 0 = v₀²−2gR となり v₀ = √(2gR)。

6 ⑤（√(5gR)）

　(C)は最高点Bまで外れずに達する場合である。N は θ が大きいほど小さくなるので、N≧0 の条件が最も厳しいのは θ = 180° の点B。4 の式に θ = 180°（cosθ = −1）を入れると N = mv₀²/R−5mg となり、N≧0 より v₀≧√(5gR)。

7 ⑦（√(2g{h+R(1−cosφ)})）

　直線部APは円に点Pで接しているので、OPはAPと垂直である。模型全体を φ 傾けるとOPは鉛直から φ だけ傾くので、点Pは最下点Qより R−R cosφ = R(1−cosφ) だけ高い。したがって点Aは点Qより h+R(1−cosφ) だけ高い。初速度 0 なので力学的エネルギー保存則より mg{h+R(1−cosφ)} = (1/2)mv₁² となり v₁ = √(2g{h+R(1−cosφ)})。

8 ⑥（N−mg cosθ）

　傾けても「θ は最下点Qから測った角」という関係は(1)と同じである。内向きの力は垂直抗力 +N と重力の内向き成分 −mg cosθ なので、向心力は N−mg cosθ。

9 ⑥（√(2g{h+R(cosθ−cosφ)})）

　角 θ の点の高さは点Qより R(1−cosθ) である。点Aは点Qより h+R(1−cosφ) 高いので、力学的エネルギー保存則より mg{h+R(1−cosφ)} = (1/2)mv²+mgR(1−cosθ)。整理して v² = 2g{h+R(cosθ−cosφ)} となり v = √(2g{h+R(cosθ−cosφ)})。

10 ⑥（R cosφ）

　(A)と(B)の境目は θ = 90° でちょうど v = 0 になるときである。9 の式に θ = 90°（cosθ = 0）、v = 0 を入れると h−R cosφ = 0 となり h = R cosφ。

11 ⑧（(5/2)R cosφ）

　(C)はレールの終点である点B（θ = 180°−φ）まで外れずに達する場合である。8 と 9 から N = m v²/R+mg cosθ = 2mg{h+R(cosθ−cosφ)}/R+mg cosθ = 2mgh/R+3mg cosθ−2mg cosφ。θ = 180°−φ では cosθ = −cosφ なので N = 2mgh/R−5mg cosφ。N≧0 より h≧(5/2)R cosφ。φ = 0 とすれば(1)の h = (5/2)R、すなわち v₀ = √(5gR) と一致する。