大問Ⅲ　1の虚数3乗根の性質、次数下げ、周期性を使った和、解と係数の関係数学II(複素数と方程式)・難易度 標準　

(1) ア = 3、イ = 4

　ω³ - 1 = (ω - 1)(ω² + ω + 1) = 0 で ω ≠ 1 だから ω² + ω + 1 = 0、すなわち ω² = -ω - 1 である。

　これを代入すると ω² + 4ω + 5 = (-ω - 1) + 4ω + 5 = 3ω + 4 となるので a = 3、b = 4 である（ω は実数でないので aω + b の表し方は1通りに決まる）。

(2) ウ = 2、エ = 3、オ = 7、カ = 3

　(1) より分子は 3ω + 4 だから 3ω + 4 = (cω + d)(ω + 2) と書き直せる。

　右辺を展開して ω² = -ω - 1 を使うと (cω + d)(ω + 2) = cω² + (2c + d)ω + 2d = c(-ω - 1) + (2c + d)ω + 2d = (c + d)ω + (2d - c) となる。

　係数を比べて c + d = 3、2d - c = 4。辺々加えて 3d = 7 より d = (7/3)、c = 3 - (7/3) = (2/3) である。

(3)(i) キ = 3、ク = 0、ケ = 9、コ = 9

　n が3の倍数のとき ω^n = 1、ω^(2n) = 1 なので I(n) = 1 + 1 + 1 = 3 である。

　n が3の倍数でないとき ω^n と ω^(2n) は ω と ω² が入れ替わるだけなので I(n) = ω² + ω + 1 = 0 である。

　99 は3の倍数だから I(99) = 3、100 は3の倍数でないから I(100) = 0。1 以上 100 以下の3の倍数は 33 個なので Σ[k=1→100] I(k) = 3·33 = 99 である。

(3)(ii) サ = 6、シ = 7、ス = 5

　I(k)² は k が3の倍数のとき 9、そうでないとき 0 なので、Σ[k=1→n] I(k)² = 9·（1 以上 n 以下の3の倍数の個数）である。

　その個数は n を3で割った商だから、9·（商）≧ 2021、すなわち 商 ≧ 2021 ÷ 9 = 224.5… より 商 ≧ 225 が必要十分である。

　商が 225 以上になる最小の n は n = 3·225 = 675 で、このとき和は 2025 ≧ 2021 を満たし、n = 674 では商が 224 で和は 2016 となり足りない。

(4) セ = 8、ソ = 3

　左辺を展開し ω³ = 1、ω⁴ = ω を使うと (1 + pω + qω²)(1 + qω + pω²) = (1 + p² + q²) + (p + q + pq)(ω + ω²) となる。

　ω + ω² = -1 だから、これは 1 + p² + q² - (p + q + pq) に等しい。s = p + q とおくと p² + q² = s² - 2pq なので、与式は 1 + s² - 2·(32/9) - s - (32/9) = (7/3) となる。

　整理すると s² - s + 1 - (32/3) = (7/3)、すなわち s² - s - 12 = 0、(s - 4)(s + 3) = 0 より s = 4 または s = -3 である。

　s = -3 のとき p, q は x² + 3x + (32/9) = 0 の解で、判別式は 9 - (128/9) < 0 だから実数解をもたず不適である。s = 4 のとき p, q は x² - 4x + (32/9) = 0、すなわち 9x² - 36x + 32 = 0 の解で x = ((36 ± 12)/18) = (8/3), (4/3)。p < q より q = (8/3) である。