大問Ⅱ　立方体の頂点から選ぶ線分・三角形・四面体の個数、最大となるものの個数と大きさ数学A(場合の数)・難易度 標準　

(1) ア = 8、イ = 1、ウ = 2

　立方体は向かい合う2つの正方形の面をもち、各正方形の頂点が4個ずつなので頂点は 4 + 4 = 8 個である。

　辺は上面に4本、下面に4本、上下を結ぶ縦の辺が4本で合計 12 本である。

(2) エ = 2、オ = 8、カ = 4、キ = 3、ク = 6

　線分は8個の頂点から2個を選ぶごとに1本ずつ決まるので ₈C₂ = 28 本である。

　1辺を a = 3√2 とすると、2頂点の距離は a（辺）、√2a（面の対角線）、√3a（立方体の対角線）の3種類しかないので最長は立方体の対角線である。各頂点に対して最も遠い頂点がちょうど1個あり、2個ずつ組になるので 8 ÷ 2 = 4 本である。

　長さは √3a = √3·3√2 = 3√6 である。

(3) ケ = 5、コ = 6、サ = 8、シ = 9、ス = 3

　立方体の8頂点のうち同一直線上にある3点はないので、3点の選び方 ₈C₃ = 56 通りがそのまま三角形の個数になる。

　3辺の長さの組合せは (a, a, √2a)、(a, √2a, √3a)、(√2a, √2a, √2a) の3種類で、それぞれ面積は (1/2)a² = 9、(1/2)a·√2a = 9√2、(√3/4)(√2a)² = 9√3 である（a² = 18）。最大は正三角形のときの 9√3。

　この正三角形は1つの頂点に集まる3辺の先の3頂点を結んだもので、頂点1個につき1個ずつ対応するから 8 個である。

(4) セ = 5、ソ = 8、タ = 2、チ = 1、ツ = 8、テ = 2

　4点の選び方は ₈C₄ = 70 通りあるが、同じ平面上にある4点の組は四面体をつくらない。そのような組は立方体の6つの面と、向かい合う辺の組がつくる長方形6つの合計12通りなので、四面体は 70 - 12 = 58 個である。

　体積が最大になるのは、立方体の隣り合わない4頂点を結んだ正四面体のときである。この正四面体は立方体から4つの合同な三角錐を切り落としたもので、各三角錐の体積は a³ ÷ 6 だから体積は a³ - 4·(a³/6) = (a³/3) である。

　a³ = (3√2)³ = 54√2 なので体積の最大値は 18√2 であり、このような正四面体は頂点の選び方が2通りあるので 2 個である。