大問Ⅰ　指数の置きかえによる2次関数化、値域、最大最小、相加平均と相乗平均、指数不等式と底の変換、解と係数の関係数学II(指数関数と対数関数)・難易度 標準　

(1) ア = 5、イ = 6、ウ = 0、エ = 7、オ = 8

　f(2) = 2^9 + 3·2^4 = 512 + 48 = 560 である。

　f(-1) = 2^(-3) + 3·2^(-2) = (1/8) + (3/4) = (7/8) である。

(2) カ = 0

　X = 2^(2x) とおくと、指数関数の値域より X > 0 であり、2^(4x+1) = 2·(2^(2x))² = 2X² だから f(x) = 2X² + 3X = X(2X + 3) と書ける。

　X > 0 のとき 2X + 3 > 0 なので f(x) > 0 であり、X → 0 で f(x) → 0、X をいくらでも大きくできるので値域は f(x) > 0 である。

(3) キ = 4、ク = 9、ケ = 8

　2^(1-2x) = 2 ÷ 2^(2x) = (2/X) なので g(x) = (2X² + 3X)((2/X) - 1) = X(2X + 3)·((2 - X)/X) = (2X + 3)(2 - X) = -2X² + X + 6 である。

　これを X で平方完成すると -2(X - (1/4))² + (49/8) となり、X = (1/4)（これは X > 0 を満たし、2^(2x) = (1/4) すなわち x = -1 に対応する）のとき最大値 (49/8) をとる。

(4) コ = 2、サ = 6

　U = 2^x > 0 とおくと X = 2^(2x) = U²、2^(-3x) = U^(-3) だから h(x) = (2U⁴ + 3U²)·U^(-3) = 2U + (3/U) である。

　U > 0 なので相加平均・相乗平均の関係より 2U + (3/U) ≧ 2√(2U·(3/U)) = 2√6 であり、等号は 2U = (3/U) すなわち U = √(3/2) のとき成り立つ。よって最小値は 2√6 である。

(5) シ = 4

　(2) の X を使うと f(x) ≦ 9 は 2X² + 3X - 9 ≦ 0、すなわち (2X - 3)(X + 3) ≦ 0 より -3 ≦ X ≦ (3/2)。X > 0 と合わせて 0 < X ≦ (3/2) である。

　X = 2^(2x) = 4^x だから 4^x ≦ (3/2)、底 4 は 1 より大きいので x ≦ log₄(3/2) となる。

　④ は底の変換公式より (1/(2log_(3/2)2)) = (log_(3/2)(3/2))/(2log_(3/2)2) = (1/2)log₂(3/2) = log₄(3/2) で、不等号の向きも一致するので適切である。①と③はどちらも値は log₄(3/2) に等しいが不等号の向きが逆であり、②は log₂3 で値が異なるので不適である。

(6) ス = 1、セ = 0、ソ = 1、タ = 0

　N = 2^2021 とおく。a に対応する X を Xa とすると 2Xa² + 3Xa = N である。

　b については 3·2^(2x+1) = 6X なので 2X² + 3X = 6X + N、すなわち 2Xb² - 3Xb = N となる。

　Xa は 2X² + 3X - N = 0 の正の解、Xb は 2X² - 3X - N = 0 の正の解だから Xa = ((-3 + √(9 + 8N))/4)、Xb = ((3 + √(9 + 8N))/4) であり、Xa·Xb = ((9 + 8N) - 9)/16 = (N/2) である。

　一方 Xa·Xb = 4^a·4^b = 4^(a+b) だから 4^(a+b) = (N/2) = 2^2020 = 4^1010 となり、a + b = 1010 である。