大問Ⅲ　弦を伝わる波の固定端反射と気柱の共鳴波動・難易度 やや難　

21 ②（λ√(ρ/(mg))）

　弦を引く力はおもりにはたらく重力とつり合う張力なので S = mg。したがって波の速さは v = √(mg/ρ)。周期は T = λ/v なので T = λ÷√(mg/ρ) = λ√(ρ/(mg))。

22 ①（A）

　図1の波形は λ が 4 目盛にあたる正弦波で、t = 0.5T のとき波形は半波長（2目盛）だけ x 軸の正の向きに進む。進行波では、半波長進むと各点の速度の向きがちょうど逆転する。図1の瞬間に y 軸の正の向きに最も速く動いているのは、変位が 0 で、波形の「山が近づいてくる側」にある点 A である（点 A のすぐ左が山）。したがって t = 0.5T では点 A が y 軸の負の向きに最も速く動く。

23 ③（0、−1、0、+1、0、−1、0 と進み、第6目盛から点 O までは変位 0 の直線）

　図1で波の先端は点 O から 4 目盛（＝λ）だけ左にあるので、先端が O に達するのは t = T である。t = 1.75T では入射波は図1から 1.75λ 進み、O で固定端反射した反射波が 0.75λ だけ戻っている。固定端反射では波形が上下反転して戻るので、左端を第0目盛、O を第9目盛として合成すると、第5〜第9目盛では入射波と反射波がちょうど打ち消し合って変位 0 になり、第0〜第5目盛には入射波だけが残って 0、−1、0、+1、0、−1 の形になる。

24 ⓐ（+1、0、−1、0、+1、0、−2、0、+2、0）

　t = 2T では入射波は図1から 2λ 進み、反射波は λ だけ戻っている。重なっている第4〜第9目盛では入射波と反射波の山どうし・谷どうしが重なって振幅が 2倍になり、重なっていない第0〜第4目盛では入射波だけが残る。固定端 O では必ず変位 0 になる。これを目盛ごとに書くと +1、0、−1、0、+1、0、−2、0、+2、0 となる。

25 ⑤（2.0×10²）

　線密度は 1.0 m あたり 0.98 g なので ρ = 9.8×10⁻⁴ kg/m。弦を引く力は S = mg = 4.0×9.8 = 39.2 N。よって v = √(39.2÷(9.8×10⁻⁴)) = √(4.0×10⁴) = 2.0×10² m/s。

26 ⑦（4.0×10²）

　両端を固定した長さ L = 0.25 m の弦の基本振動では、弦の長さが半波長にあたるので弦の波長は 2L = 0.50 m。したがって f = v/(2L) = 2.0×10²÷0.50 = 4.0×10² Hz。

27 ③（4.2×10⁻¹）

　6.0 ℃の音速は V = 331.5+0.6×6.0 = 335.1 m/s。音波の波長は λ_air = V/f = 335.1÷(4.0×10²) = 0.83775 m。水面を閉端、管口を開端とする閉管の共鳴は、気柱の長さが λ_air の (1/4) の奇数倍のときに起こる。隣り合う共鳴の間隔は常に λ_air の (1/2) なので、l₂−l₁ = 0.83775÷2 = 0.4189 ≒ 4.2×10⁻¹ m。

28 ②（2）

　弦の2倍振動の振動数は 2f = 8.0×10² Hz なので、その音波の波長は λ₂ = 335.1÷(8.0×10²) = 0.418875 m。共鳴する気柱の長さは λ₂ の (1/4) の奇数倍、すなわち 0.1047 m、0.3142 m、0.5236 m、0.7330 m、… である。一方 l₁ = λ_air の (1/4) = 0.2094 m、l₂ = λ_air の (3/4) = 0.6283 m なので、0.2094≦l≦0.6283 に入るのは 0.3142 m と 0.5236 m の 2 つである。

29 ④（2.0%長く）

　弦の線密度も張力も変わらないので、弦の基本振動数は 4.0×10² Hz のままである。17 ℃の音速は V′ = 331.5+0.6×17 = 341.7 m/s なので、音波の波長は音速に比例して長くなる。共鳴する気柱の長さは波長に比例するので、l₂′/l₂ = V′/V = 341.7÷335.1 = 1.0196…≒1.02。したがって 2.0% 長く調整すればよい。