大問Ⅰ　万有引力とケプラーの法則力学・難易度 標準　

1 ⑧（Gm₀M/R₀²）

　円運動を続けさせている向心力は、太陽と惑星の間にはたらく万有引力そのものである。距離 R₀ だけ離れた質量 M と質量 m₀ の間の万有引力の大きさは G·m₀M/R₀² なので、これがそのまま向心力の大きさになる。

2 ⑨（√(GM/R₀)）

　半径 R₀、速さ v₀ の等速円運動の向心加速度は v₀²/R₀ なので、向心方向の運動方程式は m₀·v₀²/R₀ = G·m₀M/R₀² となる。両辺の m₀ が消えて v₀² = GM/R₀ となり、v₀ > 0 だから v₀ = √(GM/R₀)。

3 ⑤（−Gm₀M/R₀）

　無限遠を基準にとった万有引力による位置エネルギーは U = −GMm/r である。引力なので値は負になる。r = R₀、m = m₀ を代入して U = −G·m₀M/R₀。

4 ⓒ（√(R₀³/(GM))）

　等速円運動なので、1周の道のり 2πR₀ を速さ v₀ で割れば周期が出る。T = 2πR₀/v₀ に 2 の結果 v₀ = √(GM/R₀) を代入すると、T = 2πR₀·√(R₀/(GM)) = 2π√(R₀³/(GM))。したがって 2π にかける量は √(R₀³/(GM))。

5 ⑧（2√2）

　だ円の半長軸は「太陽からの最短距離と最長距離の平均」である。分裂は円軌道上の点 P（太陽からの距離 R₀）で起こるので、P は m_a にとっては近日点、m_b にとっては遠日点になる。よって m_a の半長軸は R₀ と 2R₀ の平均で 1.5R₀、m_b の半長軸は R₀ と 0.5R₀ の平均で 0.75R₀ である。ケプラーの第3法則 T²/a³ = 一定 より (Ta/Tb)² = (1.5R₀)³ ÷ (0.75R₀)³ = 2³ = 8 となり、Ta/Tb > 0 だから Ta/Tb = 2√2。

6 ②（(1/2)）

　近日点と遠日点では速度が太陽と惑星を結ぶ線分に垂直になるので、面積速度は (1/2)×(太陽からの距離)×(速さ) と書ける。ケプラーの第2法則より (1/2)v_a R₀ = (1/2)v_a′ R_a。R_a = 2R₀ を代入して v_a′ = (1/2)v_a。

7 ⓪（(2√3/3)）

　m_a について近日点（距離 R₀、速さ v_a）と遠日点（距離 2R₀、速さ (1/2)v_a）で力学的エネルギー保存則を立てる。(1/2)m_a v_a² − GMm_a/R₀ = (1/2)m_a((1/2)v_a)² − GMm_a/(2R₀)。整理すると (3/8)v_a² = GM/(2R₀) となり v_a² = (4/3)·GM/R₀。よって v_a = (2/√3)√(GM/R₀) = (2√3/3)×√(GM/R₀)。

8 ⓐ（(√6/3)）

　m_b について点 P は遠日点（距離 R₀、速さ v_b）であり、近日点は距離 0.5R₀ である。面積速度一定より v_b′ = 2v_b。力学的エネルギー保存則 (1/2)v_b² − GM/R₀ = (1/2)(2v_b)² − GM/(0.5R₀) から (3/2)v_b² = GM/R₀ となり v_b² = (2/3)·GM/R₀。よって v_b = √(2/3)×√(GM/R₀) = (√6/3)×√(GM/R₀)。

9 ⓔ（−(√6/2)−1+√2+√3）

　質量の総和の保存より m₀ = m_a + m_b。運動量保存則は、v_a の向きを正として m₀v₀ = m_a v_a − m_b v_b（m_b は逆向きなので負号）。v₀ = √(GM/R₀)、v_a = (2√3/3)√(GM/R₀)、v_b = (√6/3)√(GM/R₀) を代入し、共通の √(GM/R₀) を約分すると m₀ = (2√3/3)m_a − (√6/3)m_b。m_b = m₀ − m_a を代入して解くと m_a = (√3+√2)/(2+√2)×m₀ となり、分母を有理化して m_a = (−(√6/2)−1+√2+√3)m₀（数値では約 0.92m₀）。

10 ⓗ（−√3−√2+(√6/2)+2）

　m_b = m₀ − m_a である。9 の結果を代入すると m_b = {1−(−(√6/2)−1+√2+√3)}m₀ = (−√3−√2+(√6/2)+2)m₀（数値では約 0.078m₀）。質量の大半が元の進行方向を保つ側に残る、という結果になっている。