大問Ⅲ　独立な反復試行、2点先取のゲーム、引き分けの連続による加点、条件付き確率数学A(確率)・難易度 やや難　

(1)(i) ア = 4、イ = 9

　p + q = 1 なので引き分ける確率は 0 であり、各ゲームは必ず A か B のどちらかが1点を得る。

　A が0点のまま B が優勝するのは B が最初の2回とも勝つ場合だけなので、確率は q² = (2/3)² = (4/9) である。

(1)(ii) ウ = 3、エ = 5

　B が優勝するのは「A が0点」か「A が1点」の2通りで、A が1点のときの並びは (A, B, B)、(B, A, B) の2通りである。

　その確率は 2·p·q² = 2·(1/3)·(4/9) = (8/27)。よって B が優勝する確率は (4/9) + (8/27) = (20/27) である。

　求める条件付き確率は (4/9) ÷ (20/27) = (4/9)·(27/20) = (3/5) である。

(2)(i) オ = 9、カ = 2、キ = 5

　引き分ける確率は 1 - (1/10) - (2/5) = (1/2) である。

　A が0点であるためには A が1度も勝たず、かつ引き分けが2回続かない（続くと A に1点入る）必要がある。B の勝ちを B、引き分けを - と書くと、並びは (B, B)、(-, B, B)、(B, -, B)、(-, B, -, B) の4通りである。

　確率は (2/5)² + (1/2)·(2/5)² + (2/5)·(1/2)·(2/5) + (1/2)²·(2/5)² = (4/25)(1 + (1/2) + (1/2) + (1/4)) = (4/25)·(9/4) = (9/25) である。

(2)(ii) ク = 4、ケ = 1、コ = 1、サ = 2、シ = 0、ス = 0

　引き分けが2回続くたびに A に1点入るので、引き分けを増やしすぎると A が先に2点に達してゲームが終わる。A の得点は「A の勝ち数」＋「引き分けの連続のうち2回目以降の回数」であり、これと B の勝ち数がともに2未満である間しか続けられない。

　この制約のもとで引き分けを最大にすると4回で、そのときの並びは (-, A, -, B, -, -)、(-, B, -, A, -, -)、(-, B, -, -, -)、(-, -, B, -, -) の4通りである（いずれも最後の引き分けで A が2点に達して終わる）。

　確率は (1/10)·(2/5)·(1/2)⁴·2 + (2/5)·(1/2)⁴·2 = (1/200) + (1/20) = (11/200) である。

(2)(iii) セ = 3、ソ = 0、タ = 4、チ = 9

　B が優勝するとき A の得点は0点か1点なので、A が1点で B が優勝する確率を求めて (i) と足し合わせればよい。A が1点になる経路は「A が1回勝つ」場合と「引き分けが2回続く」場合の2つである。

　A が1回勝ち B が2回勝つ並びは、最後が B の勝ちで、引き分けが連続しないように引き分けを 0, 1, 2, 3 個はさんだもので、それぞれ 2, 6, 6, 2 通りある。確率の和は (1/10)·(2/5)²·{2 + 6·(1/2) + 6·(1/2)² + 2·(1/2)³} = (2/125)·(27/4) = (27/250) である。

　引き分け2連続で A が1点を得て B が2回勝つ並びは (-, -, B, B)、(B, -, -, B) の2通りと (-, -, B, -, B)、(-, B, -, -, B) の2通りで、確率は (1/2)²·(2/5)²·2 + (1/2)³·(2/5)²·2 = (2/25) + (1/25) = (3/25) = (30/250) である。

　よって A が1点で B が優勝する確率は (27/250) + (30/250) = (57/250)、B が優勝する確率は (9/25) + (57/250) = (147/250) であり、求める条件付き確率は (9/25) ÷ (147/250) = (30/49) である。