大問Ⅰ　放物線と座標軸で囲まれた領域、接線の傾き、直線および放物線による面積の2等分、2放物線が囲む面積数学II(微分法と積分法)・難易度 標準　

(1) ア = 3、イ = 8、ウ = 3

　C と x 軸の交点の x 座標は y = 0 とおいて -(1/3)x² - (2/3)x + 5 = 0、両辺を -3 倍して x² + 2x - 15 = 0、(x+5)(x-3) = 0 より x = -5, 3 である。正のほうをとって P(3, 0)。

　f(x) = -(1/3)x² - (2/3)x + 5 とおくと f'(x) = -(2/3)x - (2/3) であり、接線の傾きは接点の x 座標における微分係数だから f'(3) = -2 - (2/3) = -(8/3) である。

(2) エ = 9

　A は x ≧ 0、y ≧ 0、y ≦ f(x) を同時に満たす部分なので、0 ≦ x ≦ 3 の範囲で x 軸と C に挟まれた部分である（x = 3 は C と x 軸の正の交点）。

　面積は ∫[0→3] f(x) dx = [-(1/9)x³ - (1/3)x² + 5x][0→3] = -3 - 3 + 15 = 9 である。

(3) オ = 1

　直線は P(3, 0) を通るので y = a(x - 3) と書ける。a < 0 のとき y 切片は -3a > 0 で、この直線は A を原点側の三角形と残りに分ける。

　その三角形は 3点 (0, 0)、(3, 0)、(0, -3a) を頂点とするので面積は (1/2)·3·(-3a) = -(9/2)a である。これが A の面積の半分 (9/2) に等しいから -(9/2)a = (9/2)、すなわち a = -1。

　このとき y 切片は 3 で、C の y 切片 5 以下だから直線は確かに A の内部を通る。

(4) カ = 1、キ = 4、ク = 3、ケ = 4、コ = 3、サ = 9

　D が P(3, 0) を通るので 9c + d = 0、すなわち d = -9c。よって D : y = -c(9 - x²) であり、c < 0 として c = -k（k > 0）とおくと y = k(9 - x²) となる。

　0 ≦ x ≦ 3 で D と x 軸が囲む面積は ∫[0→3] k(9 - x²) dx = k[9x - (1/3)x³][0→3] = 18k で、これが (9/2) に等しいから k = (1/4)、すなわち c = -(1/4)、d = (9/4)。

　C と D の共有点は -(1/3)x² - (2/3)x + 5 = -(1/4)x² + (9/4) より -(1/12)x² - (2/3)x + (11/4) = 0、両辺を -12 倍して x² + 8x - 33 = 0、(x+11)(x-3) = 0 から x = -11, 3。

　2次の係数の差が -(1/12) なので、放物線どうしが囲む面積は (1/6)公式より (1/12)·(3 - (-11))³ ÷ 6 = (14³/72) = (2744/72) = (343/9) である。

(5) シ = 5、ス = 6、セ = 7、ソ = 3、タ = 1、チ = 2

　条件は3つある。P を通ること、P での接線が ℓ と一致すること、A の面積を2等分することである。E(x) = ex² + fx + g とおく。

　E(3) = 9e + 3f + g = 0、E'(3) = 6e + f = -(8/3)、∫[0→3] E(x) dx = 9e + (9/2)f + 3g = (9/2) の3式を立てる。

　第2式より f = -(8/3) - 6e、これを第1式に入れて g = -9e - 3f = 9e + 8 を得る。第3式に代入すると 9e - 12 - 27e + 27e + 24 = 9e + 12 となり、9e + 12 = (9/2) から e = -(5/6)。

　よって f = -(8/3) + 5 = (7/3)、g = -(15/2) + 8 = (1/2) である。