大問Ⅱ　円に内接する四角形と余弦定理、面積、対角線の交点がつくる相似、内接円の半径数学I(図形と計量)・難易度 標準　

(1) ア = 2、イ = 1、ウ = 2、エ = 3

　四角形 ABCD は円に内接するので対角の和は 180°、すなわち ∠BCD = 180° - ∠DAB であり cos∠BCD = -cos∠DAB が成り立つ。

　△ABD で余弦定理より BD² = AB² + DA² - 2·AB·DA·cos∠DAB = 25 + 36 - 60cos∠DAB = 61 - 60cos∠DAB。

　△BCD で余弦定理より BD² = BC² + CD² - 2·BC·CD·cos∠BCD = 4 + 9 + 12cos∠DAB = 13 + 12cos∠DAB。2式を等しいとおいて 48 = 72cos∠DAB、cos∠DAB = (2/3)。これを戻して BD² = 13 + 8 = 21、BD > 0 より BD = √21 である。

(2) オ = 6、カ = 5

　0° < ∠DAB < 180° より sin∠DAB > 0 なので sin∠DAB = √(1 - (2/3)²) = (√5/3)、また sin∠BCD = sin(180° - ∠DAB) = sin∠DAB である。

　四角形 ABCD の面積は対角線 BD で分けた △ABD と △BCD の和だから (1/2)·5·6·sin∠DAB + (1/2)·2·3·sin∠BCD = (15 + 3)sin∠DAB = 18·(√5/3) = 6√5 である。

(3) キ = 1、ク = 5、ケ = 9、コ = 5、サ = 1、シ = 3、ス = 9、セ = 7

　弧 BC に対する円周角より ∠BAC = ∠BDC、弧 AD に対する円周角より ∠ABD = ∠ACD だから △AEB ∽ △DEC（相似比 AB : DC = 5 : 3）である。同様に △AED ∽ △BEC（相似比 AD : BC = 6 : 2 = 3 : 1）である。

　EC = 1 とおくと、△AEB ∽ △DEC から (BE/EC) = (5/3) より BE = (5/3)、△AED ∽ △BEC から (ED/EC) = 3 より ED = 3、さらに (AE/BE) = 3 より AE = 5 となる（(AE/ED) = (5/3) とも整合する）。

　よって (EC/AE) = (1/5)、(ED/BE) = 3 ÷ (5/3) = (9/5)、(EC/ED) = (1/3)、(AC/BD) = (AE + EC)/(BE + ED) = 6 ÷ (14/3) = (9/7) である。

(4) ソ = 3、タ = 4、チ = 5

　四角形が内接円をもつのは向かい合う辺の長さの和が等しいときで、AB + CD = 5 + 3 = 8、BC + DA = 2 + 6 = 8 と一致するから内接円は存在する。

　内接円の中心を O、半径を r とすると、四角形を O と各辺でできる4つの三角形に分けられ、各三角形の高さはすべて r である。よって 四角形の面積 = (1/2)r(AB + BC + CD + DA) = r·s（s は周の半分）が成り立つ。

　s = (5 + 2 + 3 + 6)/2 = 8 であり面積は 6√5 だから r = (6√5/8) = (3/4)√5 である。