大問Ⅰ　2本のばねによる単振動と剛体のつりあい力学・難易度 標準　

1 ⑥（k₁d₁ = k₂d₂）

　つりあいの位置で小物体 C は、伸びているばね A から x 軸負の向きに大きさ k₁d₁ の力を、伸びているばね B から x 軸正の向きに大きさ k₂d₂ の力を受ける。水平方向の力のつりあいより k₁d₁ = k₂d₂ が成り立つ。

2 ④（2π√(m/(k₁+k₂))）

　C が原点から x だけずれたとき、ばね A の伸びは d₁+x、ばね B の伸びは d₂−x になるので運動方程式は ma = −k₁(d₁+x) + k₂(d₂−x) となる。1 の関係 k₁d₁ = k₂d₂ を使うと ma = −(k₁+k₂)x となり、角振動数 √((k₁+k₂)/m) の単振動である。周期は 2π÷√((k₁+k₂)/m) = 2π√(m/(k₁+k₂))。

3 ⑦（(m+M)g/(k₁+k₂)）

　棒 D が水平のまま静止しているので、ばね A とばね B の下端の高さは等しく、自然の長さも等しいから伸びも等しい。その伸びを d とすると、棒 D と小物体 E を合わせた系の鉛直方向のつりあいは (k₁+k₂)d = (M+m)g となり、d = (M+m)g/(k₁+k₂)。

4 ⓪（mg/k₃）

　ばね F は小物体 E だけを支えている。E にはたらく力のつりあいより k₃ × (ばね F の伸び) = mg なので、伸びは mg/k₃ である。

5 ②（k₁(M+m)²g²/(2(k₁+k₂)²)）

　ばねの弾性エネルギーは (1/2)（ばね定数）×（伸び）² である。3 の d を代入して (1/2)k₁{(M+m)g/(k₁+k₂)}² = k₁(M+m)²g²/(2(k₁+k₂)²)。

6 ⑥（k₂(M+m)²g²/(2(k₁+k₂)²)）

　ばね B の伸びもばね A と同じ d なので、(1/2)k₂d² に 3 の d を代入して k₂(M+m)²g²/(2(k₁+k₂)²) となる。5 で k₁ を k₂ に置き換えた形である。

7 ⓪（m²g²/(2k₃)）

　4 よりばね F の伸びは mg/k₃ なので、弾性エネルギーは (1/2)k₃(mg/k₃)² = m²g²/(2k₃)。

8 ③（(M+m)²g²/(2(k₁+k₂)) + m²g²/(2k₃)）

　ばねが自然の長さの状態から、棒 D は d、小物体 E は d + mg/k₃ だけ下がるので、重力による位置エネルギーの減少は Mgd + mg(d + mg/k₃) = (M+m)gd + m²g²/k₃ である。一方、蓄えられた弾性エネルギーは (1/2)(k₁+k₂)d² + m²g²/(2k₃) で、(k₁+k₂)d = (M+m)g を使うと (1/2)(M+m)gd + m²g²/(2k₃) となる。差をとると減少量は (1/2)(M+m)gd + m²g²/(2k₃) = (M+m)²g²/(2(k₁+k₂)) + m²g²/(2k₃)。

9 ⑦（(2k₂m + (k₂−k₁)M)/(2(k₁+k₂)m)）

　棒 D の左端のまわりの力のモーメントのつりあいを考える。右端ではばね B が上向きに k₂d、重心（左端から L/2）では重力が下向きに Mg、点 P ではばね F が下向きに mg の力をおよぼすので k₂d·L = Mg·(L/2) + mg·l である。3 の d を代入して l について解くと l = L{2k₂m + (k₂−k₁)M}/(2(k₁+k₂)m) となる。

10 ⑥（(k₁+k₂)k₃/(k₁+k₂+k₃)）

　棒が軽いので棒は水平のまま平行移動する。棒が δ 下がるとばね A, B はともに δ 縮む向きに戻ろうとし、上向きに (k₁+k₂)δ の力を出す。E を x 下げたときばね F の伸びの増加は x − δ で、棒にはたらく力のつりあいから (k₁+k₂)δ = k₃(x − δ)、すなわち δ = k₃x/(k₁+k₂+k₃) である。E に作用する力の大きさは k₃(x − δ) = (k₁+k₂)k₃x/(k₁+k₂+k₃) となる。