大問Ⅲ　定積分を含む関数方程式・共通接線・面積微分法と積分法（数学II）・難易度 やや難　

(0) アイ = −3, ウエ = −2　（a = −3, −2）

　∫(0〜1) f(t) dt = a とおくと ① は f(x) = 18x² + 12ax + a² と書ける。

　これを 0 から 1 まで積分すると ∫(0〜1)(18x²+12ax+a²)dx = 6 + 6a + a² で、これが a に等しいから a² + 5a + 6 = 0、すなわち (a+2)(a+3) = 0。よって a = −3, −2 である。

(1) オ = 9, カ = 4　（f₁(0) = 9, f₂(0) = 4）

　a = −3 のとき f(x) = 18x² − 36x + 9 で f(0) = 9、a = −2 のとき f(x) = 18x² − 24x + 4 で f(0) = 4 である。

　f₁(0) > f₂(0) より f₁(x) = 18x² − 36x + 9, f₂(x) = 18x² − 24x + 4 であり、f₁(0) = 9, f₂(0) = 4 である。

(2) キク = −9, ケコ = −4　（最小値は順に −9, −4）

　f₁(x) = 18(x² − 2x) + 9 = 18(x−1)² − 9 と平方完成できるので、x = 1 で最小値 −9 をとる。

　f₂(x) = 18(x² − (4/3)x) + 4 = 18(x − (2/3))² − 4 と平方完成できるので、x = (2/3) で最小値 −4 をとる。

(3) サシス = −15, セソ = 23, タ = 8, チ = 7, ツテ = 12, ト = 1, ナ = 4, ニ = 1, ヌネ = 18

　（ℓ: y = −15x + (23/8)、接点の x 座標は (7/12) と (1/4)、面積は (1/18)）

　f₁'(x) = 36x − 36 だから C₁ 上の点 (s, f₁(s)) における接線は y = (36s−36)x − 18s² + 9、f₂'(x) = 36x − 24 だから C₂ 上の点 (u, f₂(u)) における接線は y = (36u−24)x − 18u² + 4 である。

　この2本が一致する条件は 36s − 36 = 36u − 24 かつ −18s² + 9 = −18u² + 4 で、前者より s = u + (1/3)。これを後者に代入して −18(u+(1/3))² + 9 = −18u² + 4、すなわち −12u + 7 = 4 より u = (1/4)、したがって s = (7/12)。

　このとき傾きは 36·(7/12) − 36 = −15、切片は −18·((7/12))² + 9 = −(49/8) + 9 = (23/8) だから ℓ: y = −15x + (23/8) である。

　C₁ と C₂ の交点は 18x²−36x+9 = 18x²−24x+4 より x = (5/12)。f₂(x) − (−15x+(23/8)) = 18(x−(1/4))², f₁(x) − (−15x+(23/8)) = 18(x−(7/12))² だから、求める面積は

　∫((1/4)〜(5/12)) 18(x−(1/4))²dx + ∫((5/12)〜(7/12)) 18(x−(7/12))²dx = 6((1/6))³ + 6((1/6))³ = (1/36) + (1/36) = (1/18) である。