大問Ⅱ　台形における交点の位置ベクトル・内分比・内積と最小値平面ベクトル・難易度 標準　

(1) アイ = −1, ウ = 3, エ = 4, オ = 1, カ = 4　（内積は −1、ベクトルDE = (3/4)ベクトルDA + (1/4)ベクトルDC）

　∠ADC = (2/3)π だから ベクトルDA・ベクトルDC = |ベクトルDA||ベクトルDC|cos((2/3)π) = 1·2·(−(1/2)) = −1 である。

　AD∥BC より ∠ADE = ∠CBE, ∠DAE = ∠BCE だから △ADE ∽ △CBE で、相似比は AD:CB = 1:3。よって EA:EC = 1:3、すなわち ベクトルAE = (1/4)ベクトルAC である。

　したがって ベクトルDE = ベクトルDA + (1/4)(−ベクトルDA + ベクトルDC) = (3/4)ベクトルDA + (1/4)ベクトルDC …… ① である。

(2) キ = 8, ク = 3, ケ = 2, コ = 3, サシ = −4, ス = 2　（ベクトルDA = (8/3)ベクトルDE − (2/3)ベクトルDF、ベクトルDC = −4ベクトルDE + 2ベクトルDF）

　F は辺BC の中点だから CF = (3/2) で、AD∥CF かつ AD = 1 より ベクトルCF = (3/2)ベクトルDA。よって ベクトルDF = ベクトルDC + ベクトルCF = (3/2)ベクトルDA + ベクトルDC …… ② である。

　①×4 − ② より 4ベクトルDE − ベクトルDF = (3/2)ベクトルDA、すなわち ベクトルDA = (8/3)ベクトルDE − (2/3)ベクトルDF。

　①×2 − ② より 2ベクトルDE − ベクトルDF = −(1/2)ベクトルDC、すなわち ベクトルDC = −4ベクトルDE + 2ベクトルDF である。

(3) セソ = −3, タチ = 20　（ベクトルGE = −(3/20)ベクトルAC）

　AD∥BC より ∠ADG = ∠CFG, ∠GAD = ∠GCF だから △ADG ∽ △CFG で、GA:GC = AD:CF = 1:(3/2) = 2:3。よって ベクトルAG = (2/5)ベクトルAC である。

　(1) より ベクトルAE = (1/4)ベクトルAC だから、ベクトルGE = ベクトルAE − ベクトルAG = ((1/4) − (2/5))ベクトルAC = −(3/20)ベクトルAC である。

　【別解】GE と AC が逆向きであることを図から読み取り、EG = ((2/5) − (1/4))AC = (3/20)AC として符号を付けてもよい。

(4)(i) ツテ = −1, ト = 3　（−1 < k < 3）

　与式を D を始点に書き直すと 2(ベクトルDA − ベクトルDP) + 3(ベクトルDC − ベクトルDP) − ベクトルDP = k·ベクトルDC、すなわち 6ベクトルDP = 2ベクトルDA + (3−k)ベクトルDC。

　よって ベクトルDP = (1/3)ベクトルDA + ((3−k)/6)ベクトルDC …… ③ である。

　点 P が △ACD の内部にある条件は、係数が s = (1/3) > 0, t = (3−k)/6 > 0, s+t < 1 をみたすことだから、(3−k)/6 > 0 より k < 3、(1/3) + (3−k)/6 < 1 より 5−k < 6 すなわち k > −1。よって −1 < k < 3 である。

(4)(ii) ナニ = 17, ヌ = 8　（k = (17/8)）

　①, ③ より ベクトルPE = ベクトルDE − ベクトルDP = ((3/4)−(1/3))ベクトルDA + ((1/4) − (3−k)/6)ベクトルDC = (5/12)ベクトルDA + ((2k−3)/12)ベクトルDC である。

　|ベクトルDA| = 1, |ベクトルDC| = 2, ベクトルDA・ベクトルDC = −1 を用いると

　|ベクトルPE|² = (1/144){25 + 10(2k−3)(−1) + 4(2k−3)²} = (1/144)(16k² − 68k + 91) = (1/144){16(k − (17/8))² + (75/4)}。

　よって k = (17/8) のとき |ベクトルPE| は最小となる。