大問Ⅰ　二重根号を含む対称式の計算と必要条件・十分条件の判定数と式・集合と命題・難易度 標準　

(1) ア = 1, イ = 3, ウエ = 14, オ = 3　（xy = (1/3)、(y/x)+(x/y) = (14/3)）

　xy = 1/((√5+√2)(√5−√2)) = 1/(5−2) = (1/3) である。

　また (y/x) = (√5+√2)/(√5−√2)、(x/y) = (√5−√2)/(√5+√2) だから、通分して (y/x)+(x/y) = {(√5+√2)² + (√5−√2)²}/((√5−√2)(√5+√2)) = ((7+2√10)+(7−2√10))/3 = (14/3) である。

(2) カキ = 18, ク = 3, ケコ = 40, サ = 6　（α³+(1/α³) = 18√3、α⁴−(1/α⁴) = 40√6）

　(α + (1/α))² = (α − (1/α))² + 4 = (2√2)² + 4 = 12 であり、α > 0 より α + (1/α) > 0 だから α + (1/α) = 2√3 である。

　α³ + (1/α³) = (α+(1/α))³ − 3(α+(1/α)) = (2√3)³ − 3·2√3 = 24√3 − 6√3 = 18√3。

　また α² + (1/α²) = (α+(1/α))² − 2 = 10 だから、α⁴ − (1/α⁴) = (α²+(1/α²))(α+(1/α))(α−(1/α)) = 10·2√3·2√2 = 40√6 である。

(3)(i) シ = 2　（必要条件であるが十分条件ではない）

　a = b ならば両辺に c を掛けて ac = bc が成り立つので、ac = bc は a = b であるための必要条件である。

　逆に a = 1, b = 2, c = 0 とすると ac = bc = 0 だが a ≠ b なので、十分条件ではない。

(3)(ii) ス = 4　（必要条件でも十分条件でもない）

　a = 3, b = −5 とすると a > b であるが a² = 9 < 25 = b² なので、十分条件ではない。

　また a = −4, b = 3 とすると a² = 16 > 9 = b² であるが a < b なので、必要条件でもない。

(3)(iii) セ = 3　（十分条件であるが必要条件ではない）

　a > b ならば a ≧ b は明らかに成り立つので、a > b は a ≧ b であるための十分条件である。

　逆に a = b = 1 とすると a ≧ b であるが a > b ではないので、必要条件ではない。

(3)(iv) ソ = 2　（必要条件であるが十分条件ではない）

　t < 1, 1 ≦ t < 2, 2 ≦ t で場合分けして |t−2| + 2|t−1| = 5 を解くと、t < 1 では −(t−2) − 2(t−1) = −3t+4 = 5 より t = −(1/3)（適）、1 ≦ t < 2 では −(t−2)+2(t−1) = t = 5 となり範囲外で不適、2 ≦ t では (t−2)+2(t−1) = 3t−4 = 5 より t = 3（適）。

　よって解は t = −(1/3), 3 である。t = 3 ならば等式は成り立つので必要条件であるが、t = −(1/3) という反例があるので十分条件ではない。

(3)(v) タ = 1　（必要十分条件である）

　m と n が互いに素のとき、m+n と mn が共通の素因数 p をもつと仮定すると、p は mn を割るので m か n のどちらかを割る。たとえば p が m を割るとすると、n = (m+n) − m も p で割り切れ、m と n が互いに素であることに反する。よって m+n と mn は互いに素である。

　逆に m+n と mn が互いに素のとき、m と n が共通の素因数 q をもつと仮定すると q は m+n も mn も割り、仮定に反する。よって m と n は互いに素である。両方向が示されたので必要十分条件である。