大問Ⅲ　円の接線、四角形の外接円、接する放物線の決定、放物線と円で囲まれた面積数学II(図形と方程式・積分法)・難易度 標準　

(1) √(［34］) = √3、［35］ = 8

　円 x² + y² = r² 上の点 (x₀, y₀) における接線の方程式は x₀x + y₀y = r² である。

　B(-2√3, 2) における接線 m は -2√3·x + 2y = 16。両辺を 2 で割って整理すると y = √3·x + 8。

(2) ［36］ = 4

　同様に A(2√3, 2) における接線 ℓ は 2√3·x + 2y = 16、すなわち y = -√3·x + 8。ℓ と m を連立すると x = 0, y = 8 より C(0, 8)。

　接点では半径と接線が垂直なので ∠OAC = ∠OBC = (1/2)π。向かい合う角が直角の2点 A, B は線分 OC を直径とする円周上にあるから、四角形 OACB はこの円に内接する。

　OC = 8 なので外接円の半径はその半分で 4。

(3)(i) -(［37］/［38］) = -(1/4)、［39］ = 5

　A と B は y 軸に関して対称で、そこでの接線 ℓ, m も y 軸に関して対称だから、放物線 P も y 軸に関して対称で y = ax² + c（a ≠ 0）とおける。

　y' = 2ax より A での接線の傾きは 2a·2√3 = 4√3·a。これが ℓ の傾き -√3 に等しいので a = -(1/4)。

　A(2√3, 2) を通ることから 2 = -(1/4)·12 + c、c = 5。よって P: y = -(1/4)x² + 5。

(ii) ((［40］［41］)/［42］)√(［43］) = (40/3)√5

　P と x 軸の交点は -(1/4)x² + 5 = 0 より x² = 20、x = ±2√5。

　-2√5 ≦ x ≦ 2√5 で y ≧ 0 なので、求める面積は

　∫[-2√5,2√5]{5 - (1/4)x²}dx = 2[5x - (x³/12)]₀^{2√5} = 2(10√5 - (40√5)/12) = 2·(20/3)√5 = (40/3)√5。

(iii) ［44］［45］√(［46］) = 12√3、((［47］［48］)/［49］)π = (16/3)π

　A から B まで反時計回りにたどる弧は上側の弧で、-2√3 ≦ x ≦ 2√3 において y = √(16 - x²) と表される。x = 0 では弧が 4、放物線 P が 5 なので、この範囲では P が弧の上側にある。

　求める面積は ∫[-2√3,2√3]{(-(1/4)x² + 5) - √(16 - x²)}dx。

　第1項は ∫[-2√3,2√3]{5 - (1/4)x²}dx = 2[5x - (x³/12)]₀^{2√3} = 2(10√3 - 2√3) = 16√3。

　第2項の ∫[-2√3,2√3]√(16 - x²)dx は、弧 AB と2本の線分、x 軸で囲まれた図形の面積であり、中心角 (2/3)π の扇形 OAB と2つの直角三角形に分けられるので (1/2)·4²·(2/3)π + 2·(1/2)·2√3·2 = (16/3)π + 4√3。

　よって求める面積は 16√3 - {(16/3)π + 4√3} = 12√3 - (16/3)π。