大問Ⅱ　余弦定理と内積、ベクトルによる三角形の面積、直線に関する対称点、面積比数学B(平面ベクトル)・難易度 標準　

(1) (［15］/(［16］［17］)) = (1/10)、［18］ = 4

　余弦定理より cos∠CAB = (AB² + AC² - BC²)/(2·AB·AC) = (64 + 25 - 81)/(2·8·5) = (8/80) = (1/10)。

　内積の定義より →AB・→AC = |→AB||→AC|cos∠CAB = 8·5·(1/10) = 4。

(2) ［19］ = 6、√(［20］［21］) = √11

　面積公式 △ABC = (1/2)√(|→AB|²|→AC|² - (→AB・→AC)²) に代入すると

　△ABC = (1/2)√((8·5)² - 4²) = (1/2)√(1600 - 16) = (1/2)√1584 = (1/2)·12√11 = 6√11。

(3) ［22］ = 0、(［23］/［24］) = (1/9)、(［25］/［26］) = (4/9)、(［27］/［28］) = (2/9)

　E は直線 CD に関する A の対称点だから AE ⊥ CD、よって →AE・→CD = 0。

　D は辺 AB を 1 : 3 に内分するので →AD = (1/4)→AB、したがって →CD = →AD - →AC = (1/4)→AB - →AC。

　F は直線 CD 上にあるから実数 t を用いて →AF = →AC + t→CD と表せる。→AE = 2→AF なので →AF・→CD = 0 が成り立つ。

　→AC・→CD = (1/4)(→AB・→AC) - |→AC|² = 1 - 25 = -24、|→CD|² = (1/16)·64 - (1/2)·4 + 25 = 4 - 2 + 25 = 27 なので -24 + 27t = 0、t = (8/9)。

　よって →CF = (8/9)→CD、→DF = →CD - →CF = (1/9)→CD より (DF/CD) = (1/9)。

　→AE = 2→AF = 2{→AC + (8/9)((1/4)→AB - →AC)} = (4/9)→AB + (2/9)→AC。

(4) (［29］/［30］) = (1/3)

　辺 BC を 1 : 2 に内分する点を G とすると →AG = (2/3)→AB + (1/3)→AC。

　(3) の結果は →AE = (4/9)→AB + (2/9)→AC = (2/3)→AG と書けるので、3点 A, E, G は同一直線上にあり AE : AG = 2 : 3、すなわち EG : AG = 1 : 3。

　△EBC と △ABC は底辺 BC を共有するので面積比は E, A から直線 BC までの距離の比に等しく、それは EG : AG = 1 : 3。

　よって △EBC = (1/3)△ABC。

(5) (［31］/(［32］［33］)) = (1/18)

　D は辺 AB を 1 : 3 に内分するので (AD/AB) = (1/4)、また (3) より (DF/CD) = (1/9)。

　△ADF は △ABC から辺の比を2回使って △ADF = (AD/AB)·(DF/CD)·△ABC = (1/4)·(1/9)△ABC = (1/36)△ABC。

　F は AE の中点なので △ADE = 2△ADF = (1/18)△ABC。