大問Ⅰ　和と一般項の関係、階差の計算、置き換えによる等差数列への帰着、符号が交互の和数学B(数列)・難易度 標準　

(1) -［1］ = -4、-［2］ = -4

　n = 1 のとき、和の定義から S₁ = a₁ である。与式に n = 1 を代入すると

　a₁ = ((1/2) + 1)a₁ - 1 - 3 - 2 + 8、すなわち a₁ = (3/2)a₁ + 2。

　移項して -(1/2)a₁ = 2 より a₁ = -4、したがって S₁ = a₁ = -4。

(2) ［3］ = 3、［4］ = 9、［5］ = 6

　b_{n+1} - bₙ = {(n+1)³ + 3(n+1)² + 2(n+1) - 8} - (n³ + 3n² + 2n - 8) を項ごとに差をとる。

　(n+1)³ - n³ = 3n² + 3n + 1、3{(n+1)² - n²} = 3(2n + 1) = 6n + 3、2{(n+1) - n} = 2、定数項の差は 0。

　よって b_{n+1} - bₙ = 3n² + 3n + 1 + 6n + 3 + 2 = 3n² + 9n + 6。

(3) -［6］ = -2、［7］ = 6

　bₙ を用いると与式は Sₙ = ((1/2)n + 1)aₙ - bₙ と書ける。n を n + 1 に置き換えた式との差をとり、S_{n+1} - Sₙ = a_{n+1} を使うと

　a_{n+1} = ((1/2)(n+1) + 1)a_{n+1} - ((1/2)n + 1)aₙ - (b_{n+1} - bₙ)。

　両辺を 2 倍して整理すると (n + 1)a_{n+1} - (n + 2)aₙ = 2(3n² + 9n + 6) = 6(n + 1)(n + 2)。

　両辺を (n + 1)(n + 2) で割ると a_{n+1}/(n + 2) - aₙ/(n + 1) = 6、すなわち c_{n+1} - cₙ = 6 なので {cₙ} は公差 6 の等差数列。

　初項は c₁ = a₁/2 = -2。

(4) ［8］［9］［10］ = 572

　(3) より cₙ = -2 + 6(n - 1) = 6n - 8 なので aₙ = (n + 1)cₙ = (n + 1)(6n - 8)。

　したがって a₁₀ = (10 + 1)(60 - 8) = 11·52 = 572。

(5) ［11］［12］［13］［14］ = 7600

　符号が交互なので、k = 2l - 1 と k = 2l を組にして 25 組にまとめる。

　a_{2l} = (2l + 1)(12l - 8) = 24l² - 4l - 8、a_{2l-1} = 2l(12l - 14) = 24l² - 28l であるから

　a_{2l} - a_{2l-1} = 24l - 8。

　よって Σ[k=1,50](-1)^k a_k = Σ[l=1,25](24l - 8) = 24·(1/2)·25·26 - 8·25 = 7800 - 200 = 7600。